Driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal[1] is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten ${\tbinom {n}{k}}$ in rijen voor toenemende $n$ beginnend met $n=0$ en op elke rij de $n+1$ binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van $k$ , lopend van $0$ tot en met $n$ . In de driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De driehoek is genoemd naar de Franse wiskundige Blaise Pascal (1623 - 1662), die de eerste was die ermee rekende.

Animatie van de opbouw van een driehoek van Pascal. Elke coëfficiënt in de driehoek van Pascal is de som van de twee bovenliggende coëfficiënten

Het element $T(n,k)$ in rij $n$ op de positie $k$ is dus:

T(n,k)={\binom {n}{k}}

,

voor $n=0,1,2,\ldots$ en $k=0,\ldots ,n$ . De elementen kunnen recursief gedefinieerd worden door:

T(0,0)=1

en

T(n,k)=T(n-1,k-1)+T(n-1,k)

De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo'n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1
De eerste 11 rijen van de driehoek van Pascal

De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het hieronder genoemde probleem in de kansrekening bij het dobbelen.

Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3	6	10	15	21	28	36	45
1	4	10	20	35	56	84	120
1	5	15	35	70	126	210
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84	210
1	8	36	120
1	9	45
1	10
1

en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: $c_{ij}$ , zodat

{n \choose k}=c_{n-k,k}

en de genoemde eigenschap luidt:

c_{ij}=c_{i-1,j}+c_{i,j-1}

Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallendriehoek bij het oplossen van het zgn. problème des partis, het probleem van de afgebroken partij (spel).

Pascal noemde zijn ontdekking de géometrie du hasard (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansrekening was Pascals ontdekking.

Geschiedenis

Driehoek van Yang-Hui, beschreven in een boek van Zhu Shijie in het jaar 1303

De versie van Pascal

De vroegste gedetailleerde beschrijving van een driehoek van binomiaalcoëfficiënten verscheen in de 10de eeuw in commentaren op Chandas Shastra, een Indiaas boek over de prosodie van Sanskriet, geschreven door Pingala tussen de vijfde en tweede eeuw v.Chr. Hoewel Pingala's werk slechts in fragmenten bewaard is gebleven, gebruikte de commentator Halayudha de driehoek rond 975 om twijfelachtige relaties te leggen met de Meru-prastaara, 'de trappen van de mythologische berg Meru. Het was ook al bekend dat de som van de vlakke diagonalen van de driehoek de Fibonacci-getallen oplevert. Door de Indiase wiskundige Bhattotpala (rond 1068) zijn de eerste 17 regels van de driehoek overgeleverd.

Ongeveer in dezelfde tijd werd de driehoek van Pascal in Perzië behandeld door al-Karaji (953-1029) en Omar Khayyám, en is daarom in het tegenwoordige Iran bekend als de driehoek van Khayyám. Men kende verscheidene wiskundige uitspraken over de driehoek, waaronder het binomium van Newton. Het is vrij zeker dat Khayyām een methode gebruikte om de $n$ -de-machtswortel te berekenen die berust op de binomiale ontwikkeling, en dus op de binomiaalcoëfficiënten.

De vroegste Chinese voorstelling van een meetkundige figuur, overeenkomend met de driehoek van Pascal staat in het boek van Yang Hui Xiangjie Jiuzhang suanfa uit 1261, dat fragmentarisch bewaard gebleven is in de Yongle Encyclopedie. [2] Yang schrijft daarin de driehoek van Jia Xian (ca. 1050) overgenomen te hebben, als ook li cheng shi shuo ('bepaling coëfficiënten door middel van een schema') een methode voor het berekenen van vierkants- en derdemachtswortels [3] [4]

Peter Apian publiceerde de driehoek in 1531-1532 op de omslag van zijn boek over handelsberekeningen, waarvan een eerdere versie uit 1527 het eerste schriftelijke bewijs levert van de driehoek van Pascal in Europa.

In 1655 publiceerde Blaise Pascal het boek Traité du triangle arithmétique ('Verhandeling over de meetkundige driehoek'), waarin hij verscheidene resultaten met betrekking tot de driehoek bijeenbracht en die gebruikte om problemen in de kansrekening op te lossen. De driehoek werd later door Pierre Rémond de Montmort (1708) en Abraham de Moivre (1730) genoemd naar Pascal.

Eigenschappen

Driehoek van Sierpiński

De driehoek van Pascal heeft vele eigenschappen:

De som van de binomiaalcoëficiënten in rij $n$ is gelijk aan $\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}=(1+1)^{n}=2^{n}$
De getallen op een rij vormen de coëfficiënten van het binomium van Newton
Als de binomiaalcoëfficiënt ${\tbinom {n}{1}}=n$ in de rij met index $n$ een priemgetal is, zijn alle coëfficiënten in die rij, behalve de 1 aan het begin en eind, deelbaar door $n$ l. Voorbeeld: 1 7 21 35 35 21 7 1
Door de oneven getallen in de driehoek weer te geven als een zwarte punt ontstaat een figuur met een fractale structuur, de zogenaamde driehoek van Sierpiński.
De eerste zes driehoeksgetallen
De rij getallen evenwijdig aan een van de zijden van de driehoek heet een diagonaal. De eerste diagonaal bevat alleen getallen 1. De tweede diagonaal de natuurlijke getallen. De getallen op de derde diagonaal zijn de driehoeksgetallen. Deze zijn gelijk aan

T_{n}=T(n,2)=\sum \limits _{i=1}^{n}i

Op de vierde diagonaal staan de tetraëdergetallen.

De Fibonacci-getallen als som van de getallen op de rode lijnen

De getallen uit de rij van Fibonacci verschijnen ook in de driehoek als som van een ander soort diagonalen (zie figuur).

Zie ook

Bord van Galton (quincunx)

Referenties

zie ook: rij A007318 in OEIS
Ho Peng Yoke Li, Qi en Shu, An Introduction to Science and Civilization in China. Hongkong University Press (1985), 97. ISBN 0-486-41445-0.
George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, 3. Princeton University Press (2011), 247. ISBN 978-0-691-13526-7.
Duan Yao-Yung, Kostas Nikolantonakis, The Algorithm of Extraction in Greek and Sino-Indian Mathematical Traditions.. Birkhäuser. DOI:10.1007/978-0-8176-4695-0_11 (2011), 180–181. ISBN 978-0-8176-4695-0.

Zie de categorie Pascal's triangle van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] zie ook: rij A007318 in OEIS

[2] Ho Peng Yoke Li, Qi en Shu, An Introduction to Science and Civilization in China. Hongkong University Press (1985), 97. ISBN 0-486-41445-0.

[3] George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, 3. Princeton University Press (2011), 247. ISBN 978-0-691-13526-7.

[4] Duan Yao-Yung, Kostas Nikolantonakis, The Algorithm of Extraction in Greek and Sino-Indian Mathematical Traditions.. Birkhäuser. DOI:10.1007/978-0-8176-4695-0_11 (2011), 180–181. ISBN 978-0-8176-4695-0.