Driehoeksgetal

Het n-de driehoeksgetal ${\displaystyle T_{n}}$ is de som van de getallen 1 tot en met n. In formule:

${\displaystyle T_{n}=1+2+3+\cdots +n=\sum _{i=1}^{n}i.}$

Met behulp van de somformule van Gauss volgt:

${\displaystyle T_{n}={\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$.

Dit is hetzelfde als

${\displaystyle T_{n}={n+1 \choose 2}}$

(dit is de binomiaalcoëfficiënt van n+1 over 2).

De som van alle reciproque driehoeksgetallen is

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {{n^{2}+n} \over 2}}=2\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}+n}}=2.}$

Dit volgt uit de telescoopreeks

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n(n+1)}}=1.}$

• Ieder natuurlijk getal, behalve 0, is te schrijven als som van ten hoogste drie driehoeksgetallen. Dit is bewezen door Gauss (zie bijvoorbeeld Beukers, 1999) in 1796. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de veelhoeksgetalstelling van Fermat.
• Een getal N is een driehoeksgetal dan en slechts dan als 8N+1 een kwadraat is.
• Het n-de driehoeksgetal is gelijk aan het aantal kanten in een volledige graaf met n knopen.
• De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is een kwadraat, bijvoorbeeld T₄ + T₅ = 10 + 15 = 25 = 5².
• De som van de eerste n driehoeksgetallen is gelijk aan het n-de tetraëdergetal.

• Driehoekskwadraatgetal

Zie de categorie Triangular numbers van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.