Regelmatige maat

Laat ${\displaystyle (X,T)}$ een topologische ruimte zijn en ${\displaystyle \Sigma }$ een σ-algebra op ${\displaystyle X}$, die de topologie ${\displaystyle T}$ bevat (waardoor alle open en gesloten verzamelingen meetbare verzamelingen zijn, en zodat ${\displaystyle \Sigma }$ ten minste zo "fine" is als de Borel-σ-algebra op ${\displaystyle X}$). Laat ${\displaystyle \mu }$ een maat zijn op ${\displaystyle (X,\Sigma )}$. Van een meetbare deelverzameling ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle X}$ wordt gezegd dat deze ${\displaystyle \mu }$-regulier is als

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)|F\subseteq A,F{\mbox{ gesloten}}\}}$

en

${\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)|G\supseteq A,G{\mbox{ open}}\}.}$

Op gelijkwaardige wijze geldt dat ${\displaystyle A}$ een ${\displaystyle \mu }$-reguliere verzameling is dan en slechts dan als voor elke ${\displaystyle \delta >0}$ er een gesloten verzameling ${\displaystyle F}$ en een open verzameling ${\displaystyle G}$ bestaan, zodanig dat

${\displaystyle F\subseteq A\subseteq G}$

en

${\displaystyle \mu (G\setminus F)<\delta .}$

Als elke meetbare verzameling regelmatig is, dan zegt men dat de maat ${\displaystyle \mu }$ een reguliere maat is.

Sommige auteurs vereisen dat de verzameling ${\displaystyle F}$ niet alleen gesloten is, maar ook compact.[1]

• De lebesgue-maat op de reële lijn is een regelmatige maat: zie de regelmatigheidsstelling voor de lebesgue-maat.
• De triviale maat, die een maat nul toekent aan elke meetbare deelverzameling, is een regelmatige maat.
• Een triviaal voorbeeld van een niet-regelmatige maat is de maat ${\displaystyle \mu }$ op de reële rechte met de gebruikelijke borel-topologie, die een maat nul toekent aan de lege verzameling en een oneindige positieve maat aan elke niet-lege verzameling.
• Enige borel-kansmaat op enige metrische ruimte is een regelmatige maat.

• (en) Billingsley, Patrick, Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York (1999). ISBN 0-471-19745-9.
• (en) Parthasarathy, K. R., Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI (2005), p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.

• (en) Dudley, R. M., Real Analysis and Probability. Chapman & Hall (1989).