Cosinusregel

De congruentiestellingen ZZZ (zijde-zijde-zijde) en ZHZ (zijde-hoek-zijde) geven aan, dat een driehoek volledig bepaald is, wanneer alle drie de zijden (ZZZ) of twee zijden en de daardoor ingesloten hoek (ZHZ) bekend zijn. De cosinusregel staat het in deze gevallen toe uit de drie gegeven gegeven informatie-elementen een vierde, namelijk een hoek (in het geval van ZZZ) of de lengte van de derde zijde (in het geval van ZHZ) te berekenen. Wanneer men vervolgens ook de andere hoeken van een driehoek wil bepalen, kan men daarvoor opnieuw de cosinusregel of ook de sinusregel toepassen. Daar de som van de hoeken 180 graden is, kent men snel de laatste hoek.

Als er slechts een zijde en twee hoeken (de congruentiestellingen ZHH of HZH) of twee zijden en de tegenoverliggende hoek van de grootste zijde (Congruentiestelling ZzH) bekend zijn, kan men eerst een van de ontbrekende hoeken met de sinusregel berekenen, waarna de derde hoek ook automatisch bekend is (180-gradenregel). Afsluitend kan men de cosinusregel toepassen om de derde zijde te bepalen.

Vanuit C is de loodlijn ${\displaystyle d}$ neergelaten op de zijde ${\displaystyle c}$. Zoals men in de figuur kan zien, verdeelt de loodlijn ${\displaystyle d}$ de driehoek in twee rechthoekige driehoeken. Volgens de stelling van Pythagoras geldt:

afbeelding horend bij uitleg

${\displaystyle b^{2}=d^{2}+e^{2}}$

en

${\displaystyle a^{2}=d^{2}+(c-e)^{2}}$

Eliminatie van ${\displaystyle d^{2}}$ geeft:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2ce}$

Verder is:

${\displaystyle \cos(\alpha )=e/b}$, waaruit volgt ${\displaystyle e=b\cos(\alpha )}$

Beide formules gecombineerd geeft:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}$

Beschouw de zijden van de driehoek als vectoren en noem:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {BC}},\ {\vec {b}}={\vec {AC}},\ {\vec {c}}={\vec {AB}}}$

Dan is:

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {b}}-{\vec {a}},}$

zodat met het inwendig product van twee vectoren volgt:

${\displaystyle c^{2}=\|{\vec {c}}\|^{2}=\|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {a}}\|^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma }$.

De laatste gelijkheid volgt uit de definitie van de hoek tussen twee vectoren.

Een ander bewijs gaat door vergelijking van oppervlakten. We moeten onderscheid maken in het geval met scherpe hoek ${\displaystyle \gamma }$ en het geval met stompe hoek ${\displaystyle \gamma }$.

Geval met scherpe hoek ${\displaystyle \gamma }$

Fig 2: Met scherpe hoek ${\displaystyle \gamma }$

Figuur 2 laat een zevenhoek zien die verdeeld is in:

• de roze oppervlakten ${\displaystyle a^{2},\ b^{2}}$ links en ${\displaystyle 2ab\cos \gamma }$ en ${\displaystyle c^{2}}$ rechts
• de driehoek ABC in het blauw
• grijze hulpdriehoeken alle congruent met driehoek ABC.

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts blijkt:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma }$

waaruit de cosinusregel volgt.

Fig 3: Met stompe hoek ${\displaystyle \gamma }$

Geval met stompe hoek ${\displaystyle \gamma }$

Figuur 3 laat een zeshoek zien die verdeeld is in:

• de roze oppervlakten ${\displaystyle a^{2},\ b^{2}}$ en ${\displaystyle -2ab\cos \gamma }$ links en ${\displaystyle c^{2}}$ rechts
• twee keer in het blauw met driehoek ABC congruente driehoeken

Uit vergelijking van de oppervlakten links en rechts volgt direct de cosinusregel:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}$