Additieve identiteit

In een verzameling die is uitgerust met de operatie optelling, is de additieve identiteit het element dat, wanneer opgeteld bij een willekeurige element x uit deze verzameling, ditzelfde element x weer als resultaat geeft. Men spreekt ook van neutraal element van de optelling. Een van de bekendste additieve identiteiten is het getal 0 uit de elementaire wiskunde, maar additieve identiteiten komen ook voor in andere wiskundige structuren, zoals groepen en ringen, waarvoor de operatie van optelling is gedefinieerd.

Elementaire voorbeelden

De additieve identiteit bekend uit de elementaire wiskunde is nul, aangeduid met 0. Bijvoorbeeld,

5+0=5=0+5\,

In de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$ en al zijn supersets (de gehele getallen $\mathbb {Z}$ , de rationele getallen $\mathbb {Q}$ , de reële getallen $\mathbb {R}$ , of de complexe getallen $\mathbb {C}$ ), de additieve identiteit is 0. Voor alle getallen n geldt,

n+0=n=0+n\,

Formele definitie

Laat N een verzameling zijn die is gesloten onder de operatie van optelling, aangeduid met +. Een additieve identiteit voor N is dan elk willekeurig element e, zodat voor elk willekeurig element n in N geldt dat,

e+n=n=n+e\,

Verdere voorbeelden

In een groep is de additieve identiteit het identiteits element van de groep. Dit neutrale element wordt vaak aangeduid met 0, en is uniek (zie hieronder voor het bewijs).
Een ring of een veld is een groep onder de operatie van optelling en heeft dus een unieke additieve identiteit 0. Deze is gedefinieerd als zijnde verschillend van de multiplicatieve identiteit 1, wanneer de ring (of het veld) meer dan een element heeft. Als de additieve identiteit en de multiplicatieve identiteit hetzelfde zijn, dan is de ring dus triviaal (wordt hieronder bewezen).
In de ring M_m×n(R) van m bij n matrices over een ring R, wordt de additieve identiteit aangeduid met 0 en is deze additieve identiteit de m bij n matrix, waarvan alle elementen gevuld zijn met het identiteits element 0 in R. In de 2 bij 2 matrices over de gehele getallen M₂(Z) ziet de additieve identiteit er bijvoorbeeld als volgt uit:
$0={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$ .
In de quaternionen, is 0 de additieve identiteit.
In de ring van functies van R naar R, de functie mapping elk getal naar 0 is de additieve identiteit.
In de additieve groep van een vectoren in Rⁿ, is de oorsprong of nulvector een additieve identiteit.

Bewijzen

De additieve identiteit is uniek in een groep

Laat (G, +) een groep zijn en laat 0 and 0' in G beide additieve identiteiten aanduiden, zodat voor elke willekeurige g in G geldt dat,

0+g=g=g+0\,

en

0'+g=g=g+0'\,

Uit het bovenstaande volgt

0+(0')=(0')=(0')+0\,

en

0'+(0)=(0)=(0)+0'\,

wat aantoont

0=0'\,

De additieve en de multiplicatieve identiteiten zijn verschillend in een niet-triviale ring

Laat R een ring zijn en neem aan dat de additieve identiteit 0 en de multiplicatieve identiteit 1 gelijk zijn, of 0 = 1. Laat r elk willekeurig element van R zijn. Dan geldt

r=r\times 1=r\times 0=0\,

wat bewijst dat R triviaal is, dat wil zeggen R = {0}. De contrapositieve, dat als R niet-triviaal is dat dan 0 niet gelijk aan 1, is daarom aangetoond.

De additieve identiteit vernietigt ringelementen

In een systeem met een gedefinieerde vermenigvuldigings operatie die distributitief is over optelling, is de additieve identiteit een multiplicatief absorberend element, wat wil zeggen dat voor elke willekeurige s in S geldt dat :

s\cdot 0=0\,

Dit kan worden aangetoond omdat

s\cdot 0=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\,

door elementen weg te strepen houden we over:

s\cdot 0=0\,

Zie ook

Referenties

(en) David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.