Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of Höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een veralgemening van het gewone rekenkundig gemiddelde. Het wortelgemiddelde met macht p van een rijtje getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht p, bepaal het gemiddelde van deze p-de machten en trek uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Het veralgemeend gemiddelde kan naast het rekenkundig gemiddelde (p = 1) ook het meetkundig gemiddelde (p = 0), het kwadratisch gemiddelde (p = 2) en het harmonisch gemiddelde (p = -1) beschrijven.

Definitie

Voor het reële getal $p\neq 0$ is het $p$ -de-machtswortelgemiddelde van de niet-negatieve getallen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ gedefinieerd door:

W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}{n}}\right)^{1/p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+a_{2}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}

.

Ook voor de limietgevallen $p=0$ , $p=-\infty$ en $p=\infty$ is het wortelgemiddelde gedefinieerd en wel is:

W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}

(het meetkundig gemiddelde)

W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\min\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}

(het minimum van de getallen)

W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}

(het maximum van de getallen)

Voorbeelden

p=1 geeft het rekenkundig gemiddelde: $W_{1}={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$ .
p=2 geeft het kwadratisch gemiddelde: $W_{2}={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$
p=-1 geeft het harmonisch gemiddelde $W_{-1}=1\left/\left({\frac {{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}{n}}\right)\right.$

Eigenschappen

Het wortelgemiddelde is homogeen, d.w.z. voor $\lambda >0$ geldt:

W_{p}(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\ldots ,\lambda a_{n})=\lambda W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

.

De berekening van een wortelgemiddelde kan opgesplitst worden in blokken van gelijke grootte:

W_{p}(a_{1},\ a_{2},\ldots ,a_{m\cdot k})=W_{p}(W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{k}),W_{p}(a_{k+1},\ldots ,a_{2k}),\ldots ,W_{p}(a_{(m-1)k+1},\ldots ,x_{m\cdot k}))

Algemeen geldt voor $-\infty \leq s\leq t\leq \infty$ :

W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq W_{t}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

.

Het wortelgemiddelde van n dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:

W_{p}(a,a,\ldots ,a)=a

.

Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

s\neq t\land W_{s}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=W_{t}(a_{1},a_{2},...,a_{n})\implies a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{n}

.

Op de n-dimensionale reële of complexe coördinatenruimte vormt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten voor $p\geq 1$ een norm.

Veralgemening

Er bestaat ook een zinvolle veralgemening van het wortelgemiddelde tot oneindig veel getallen, zie Lp-ruimte.

Bewijzen voor de limietgevallen

$W_{0}$

Het wortelgemiddelde $W_{0}$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to 0$ . Immers:

W_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\exp {\left(\ln {\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)}-\ln n}{p}}\right)}

Voor de exponent geldt volgens de regel van l'Hôpital:

\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)-\ln n}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\ln {a_{k}}}{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln {a_{k}}=\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)

.

Omdat de exponentiële functie continu is, volgt:

\lim _{p\to 0}W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\exp {\ln \left((a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}\right)}=(a_{1}a_{2}\ldots a_{n})^{1/n}=W_{0}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

$W_{\infty }$

Het wortelgemiddelde $W_{\infty }$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to \infty$ . Immers:

Laat $a=\max\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}$ , dan is:

\lim _{p\to \infty }W_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right)^{1/p}=a\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {a_{k}}{a}}\right)^{p}\right)^{1/p}=a=W_{\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

.

$W_{-\infty }$

Het wortelgemiddelde $W_{-\infty }$ is de limiet van $W_{p}$ voor $p\to -\infty$ .

Dit is een direct gevolg van de betrekking:

W_{-\infty }(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\frac {1}{W_{\infty }(1/a_{1},1/a_{2},\ldots ,1/a_{n})}}.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.