Afsluiting (verzameling)

In de wiskunde is de afsluiting van een verzameling A ten aanzien van een bepaalde eigenschap, de kleinste verzameling met die eigenschap waarvan A een deelverzameling is.

In de wiskunde zegt men dat een verzameling gesloten is onder een bepaalde operatie als deze operatie op elementen van een verzameling opnieuw een element van dezelfde verzameling als resultaat geeft. De reële getallen zijn bijvoorbeeld gesloten onder de operatie aftrekken, maar de natuurlijke getallen zijn dit niet: 3 en 7 zijn beide natuurlijke getallen, maar het resultaat van 3 − 7 is -4 (duidelijk geen natuurlijk getal).

Op dezelfde wijze zegt men dat een verzameling gesloten is onder een collectie van operaties, als deze verzameling gesloten is onder elk van de individuele operaties.

Van een verzameling die gesloten is onder een operatie of onder een collectie van operaties, wordt gezegd dat deze voldoet aan de sluitingseigenschap. Vaak wordt een sluitingseigenschap geïntroduceerd als een axioma, dat dan vervolgens het sluitingsaxioma wordt genoemd. Merk op dat de moderne verzamelings-theoretische definities meestal operaties definiëren als afbeeldingen tussen verzamelingen, zodat het atoevoegen van een sluitingseigenschap als een axioma aan een structuur overbodig is, hoewel het nog steeds zinvol zich af te vragen of deelverzamelingen al dan niet gesloten zijn. De verzameling van de reële getallen is bijvoorbeeld gesloten onder de operatie aftrekken, maar (zoals hierboven vermeld) haar deelverzameling van de natuurlijke getallen is dit duidelijk niet.

Als een verzameling S niet gesloten is onder bepaalde operaties, kan men meestal een kleinste gesloten verzameling vinden, de afsluiting van S (met betrekking tot deze operaties) waarin S bevat is. De afsluiting onder de aftrekoperatie van de verzameling van natuurlijke getallen, gezien als een deelverzameling van de reële getallen, is bijvoorbeeld de verzameling van de gehele getallen. Een belangrijk voorbeeld hiervan is de topologische sluiting. Het beghrip afsluiting wordt gegeneraliseerd door de galoisverbinding, en nog verder door monaden.

Binnen de logica kent men de deductieve afsluiting waarbij een verzameling proposities wordt afgesloten onder een verzameling afleidingsregels.