Productregel (afgeleide)

Beschouw de functie ${\displaystyle h(x)=x^{3}\cos(x)}$. Deze functie is te schrijven als het product van ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ en ${\displaystyle g(x)=\cos(x)}$.

Nu is ${\displaystyle f'(x)=3x^{2}}$ en ${\displaystyle g'(x)=-\sin(x)}$. Toepassing van de productregel levert dan

${\displaystyle h'(x)=(x^{3}\cos x)'=(x^{3})'\cos x+x^{3}(\cos x)'=3x^{2}\cos x-x^{3}\sin x}$

In onderstaand bewijs zijn de functies f en g differentieerbaar in het punt a.

${\displaystyle (fg)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {(f(x)-f(a))g(x)+f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\lim _{x\to a}g(x)+f(a)\lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}}$

${\displaystyle =f'(a)g(a)+f(a)g'(a)}$

De regel kan veralgemeend worden naar een product van meer dan twee functies.

Voor drie functies f, g en h verkrijgen we in de verkorte notatie

${\displaystyle \left(fgh\right)^{\prime }=f'gh+fg'h+fgh'}$

Veralgemenen naar n functies geeft met behulp van het sommatie- en productsymbool

${\displaystyle \left({\prod \limits _{i=1}^{n}{f_{i}}}\right)^{\prime }\left(a\right)=\prod \limits _{i=1}^{n}{f_{i}\left(a\right)\cdot }\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {f_{i}^{\prime }\left(a\right)}{f_{i}\left(a\right)}}}\right)}$

• Afgeleide
• Somregel
• Kettingregel
• Quotiëntregel
• Partiële integratie