Stelling van Jacobi

De stelling van Jacobi is een wiskundige stelling in de euclidische meetkunde van de driehoek. De stelling luidt dat als in het vlak van een driehoek ABC een driehoek A₁B₁C₁ voldoet aan de voorwaarden

• AB₁ en AC₁ antiparallel zijn ten opzichte van AB en AC;
• BA₁ en BC₁ antiparallel zijn ten opzichte van BA en BC;
• CA₁ en CB₁ antiparallel zijn ten opzichte van CA en CB;

De ingekleurde hoeken bij A, respectievelijk B en C zijn gelijk, dus XYZ is een Jacobi-driehoek en N het bijbehorende Jacobi-punt.

dan zijn ABC en A₁B₁C₁ perspectief. A₁B₁C₁ wordt een Jacobi-driehoek of isogonale driehoek genoemd, het perspectiviteitscentrum punt van Jacobi.

Laten we

• ${\displaystyle \phi _{A}:=\angle CAB_{1}=\angle C_{1}AB}$, dus ${\displaystyle \phi _{A}>0}$ als C en C₁ aan weerszijden van AB liggen,
• ${\displaystyle \phi _{B}:=\angle ABC_{1}=\angle A_{1}BC}$, en
• ${\displaystyle \phi _{C}:=\angle BCA_{1}=\angle B_{1}CA}$,

dan zijn de barycentrische coördinaten met Conway-driehoeknotatie

• ${\displaystyle A_{1}=\left(-a^{2}:S_{C}+S_{\phi _{C}}:S_{B}+S_{\phi _{B}}\right),}$
• ${\displaystyle B_{1}=\left(S_{C}+S_{\phi _{C}}:-b^{2}:S_{A}+S_{\phi _{A}}\right),}$ en
• ${\displaystyle C_{1}=\left(S_{B}+S_{\phi _{B}}:S_{A}+S_{\phi _{A}}:-c^{2}\right).}$

Het bijbehorende punt van Jacobi heeft barycentrische coördinaten

${\displaystyle \left({\frac {1}{S_{A}+S_{\phi _{A}}}}:{\frac {1}{S_{B}+S_{\phi _{B}}}}:{\frac {1}{S_{C}+S_{\phi _{C}}}}\right)=}$

${\displaystyle \left({\frac {\sin(\alpha )\sin(\phi _{A})}{\sin(\alpha +\phi _{A})}}:{\frac {\sin(\beta )\sin(\phi _{B})}{\sin(\beta +\phi _{B})}}:{\frac {\sin(\gamma )\sin(\phi _{C})}{\sin(\gamma +\phi _{C})}}\right),}$

waarin α, β en γ de hoeken van driehoek ABC representeren.

Bekende voorbeelden van Jacobi-driehoeken zijn de driehoek van Morley, de spiegeldriehoek en de driehoeken van Kiepert. Ook de ontaarde driehoek van punten waar oneindig verre rechte de hoogtelijnen snijden is een Jacobi-driehoek.