Kruisingsdriehoek

Gegeven twee driehoeken A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂. De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:

$A_{3}$ het snijpunt van lijnen $B_{1}C_{2}$ en $B_{2}C_{1}$
$B_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1}C_{2}$ en $A_{2}C_{1}$
$C_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1}B_{2}$ en $A_{2}B_{1}$

Met deze nieuwe driehoek is iedere driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee. De drie driehoeken hebben hier index 1,2 en 3. In de meeste gevallen wordt A₁B₁C₁ als referentiedriehoek gezien, dan heet A₃B₃C₃ de kruisingsdriehoek van A₂B₂C₂.

Configuratie

Het belang van de kruisingsdriehoek zit in het feit dat als A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ perspectief zijn, dan zijn A₁B₁C₁ en A₃B₃C₃ dat ook, evenals A₂B₂C₂ en A₃B₃C₃. Voor de drie perspectiviteitscentra D₁ van A₂B₂C₂ en A₃B₃C₃, D₂ van A₁B₁C₁ en A₃B₃C₃ en D₃ van A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ geldt, dat ze op één lijn liggen. Deze lijn heet de perspectiviteitsas van de drie driehoeken.

Hierdoor vormen de viertallen punten A_iB_iC_iD_i voor i = 1, 2, 3 de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie. Om die reden heten, als A₁B₁C₁ als referentiedriehoek wordt gezien, A₂B₂C₂ en A₃B₃C₃ desmische vrienden (Engels: Desmic mates).

Gekanteld

We kunnen de kruisingsdriehoeken kantelen: ook elk van de driehoeken A₁A₂A₃, B₁B₂B₃ en C₁C₂C₃ is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten

$A_{4}=A_{1}A_{2}\cap A_{2}A_{3}\cap A_{1}A_{3}$
$B_{4}=B_{1}B_{2}\cap B_{2}B_{3}\cap B_{1}B_{3}$
$C_{4}=C_{1}C_{2}\cap C_{2}C_{3}\cap C_{1}C_{3}$

op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.

Bijzondere gevallen

Als de hoekpunten van A₁B₁C₁ en A₂B₂C₂ op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard.
Is A₁B₁C₁ ingeschreven in A₂B₂C₂, dan is hun kruisingsdriehoek A₂B₂C₂ zelf.

Bronnen, noten en/of referenties

Desmic Mate bij MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.