Cyclotomisch veld

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een cyclotomisch veld (Belgische term) of cyclotomisch lichaam (Nederlandse term) een getallenlichaam, dat wordt verkregen door een complexe primitieve eenheidswortel toe te voegen aan Q, het lichaam/veld van de rationale getallen.

Definitie

Zij n een natuurlijk getal groter dan 2. Het n-de cyclotomische lichaam/veld Q(ζ_n) wordt verkregen door een primitieve n-de eenheidswortel ζ_n aan de rationale getallen toe te voegen. Een n-de eenheidswortel heet primitief als alle andere complexe n-de eenheidswortel geschreven kunnen worden als (natuurlijke) machten van de oorspronkelijke.

Uitbreidingsgraad

Als p een priemgetal is, dan volgt uit het criterium van Eisenstein dat Q(ζ_p) een uitbreiding van graad p–1 is over de rationale getallen. Algemener geldt dat voor willekeurige n > 2 de graad van de uitbreiding gelijk is aan de Euler-indicator van n.

Voorbeeld

Door aan de rationale getallen de imaginaire eenheid i toe te voegen (een primitieve vierdemachtswortel van 1) ontstaat het lichaam/veld $\mathbb {Q} (i)$ . De graad van de uitbreiding is $\varphi (4)=2$ . Dit is ook gemakkelijk rechtstreeks vast te stellen doordat de polynoom $x^{2}+1$ irreducibel is.

Historisch belang

De cyclotomische lichamen/velden hebben een cruciale rol in de ontwikkeling van de abstracte algebra en de getaltheorie gespeeld, dit vanwege hun relatie met de laatste stelling van Fermat. Het was in het proces van zijn diepe onderzoekingen naar de rekenkunde van de cyclotomische velden (voor priemgetal n) - of om preciezer te zijn, vanwege het falen van het uniek factorisatiedomein in hun ring van de gehele getallen - dat Ernst Kummer het concept van een ideaal getal voor het eerst introduceerde en zijn beroemde Kummer-congruentie bewees.

Zie ook

Stelling van Kronecker–Weber
Eenheidswortel

Referenties

(en) Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", in J.W.S. Cassels en A. Frohlich (edd), Algebraic number theory (Algebraïsche getaltheorie), Academic Press, 1973. Chap.III, pp.45-93.
(en) Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, gecombineerde tweede editie. Met een appendix door Karl Rubin. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.