Differentievergelijking

De rij van Fibonacci wordt gedefinieerd door de differentievergelijking:

${\displaystyle u_{0}=0}$

${\displaystyle u_{1}=1}$

${\displaystyle u_{n}=u_{n-1}+u_{n-2}}$ voor n = 2, 3, ...

In dit voorbeeld van een lineaire differentievergelijking hangt de waarde van de volgende term slechts af van de twee voorgaande. We zeggen dat de differentievergelijking van de tweede orde is.

Een lineaire differentievergelijking van de orde k heeft de vorm:

${\displaystyle x_{n}=c_{0}(n)+c_{1}(n)x_{n-1}+c_{2}(n)x_{n-2}+\ldots +c_{k}(n)x_{n-k}\,}$,

waarin de coëfficiënten ${\displaystyle c}$ nog van ${\displaystyle n}$ kunnen afhangen. Zijn de coëfficiënten c niet afhankelijk van n, dan spreken we van een lineaire differentievergelijking van de orde k met constante coëfficiënten:

${\displaystyle x_{n}=c_{0}+c_{1}x_{n-1}+c_{2}x_{n-2}+\ldots +c_{k}x_{n-k}}$.

In het geval ${\displaystyle c_{0}=0}$ spreken we van de homogene vergelijking, waarvan oplossingen gevonden worden door de substitutie:

${\displaystyle x_{n}=\lambda ^{n}}$,

waardoor de vergelijking overgaat in:

${\displaystyle \lambda ^{n}=c_{1}\lambda ^{n-1}+c_{2}\lambda ^{n-2}+\ldots +c_{k}\lambda ^{n-k}}$

of

${\displaystyle \lambda ^{k}-c_{1}\lambda ^{k-1}-c_{2}\lambda ^{k-2}-\ldots -c_{k-1}\lambda -c_{k}=0}$,

de karakteristieke vergelijking geheten.

Als alle wortels ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$ verschillend zijn, wordt de algemene oplossing van de homogene differentievergelijking gegeven door:

${\displaystyle x_{Hn}=A_{1}\lambda _{1}^{n}+\ldots +A_{k}\lambda _{k}^{n}}$,

waarin de ${\displaystyle A}$'s nog vrij te kiezen constanten zijn. Na het vinden van een speciale oplossing ${\displaystyle x_{Sn}}$ van de algemene vergelijking, wordt de algemene oplossing gegeven door:

${\displaystyle x_{n}=x_{Sn}+x_{Hn}}$.

De differentievergelijking voor de Fibonacci-getallen is een homogene lineaire differentievergelijking van de orde 2 met constante coëfficiënten. De karakteristieke vergelijking is:

${\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda -1=0}$,

met wortels:

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}}$,

De algemene oplossing is dus:

${\displaystyle x_{Hn}=A_{1}\lambda _{1}^{n}+A_{2}\lambda _{2}^{n}}$.

uit de beginvoorwaarde ${\displaystyle x_{0}=0}$ volgt dat ${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$, en uit ${\displaystyle x_{1}=1}$ en het gegeven dat:

${\displaystyle \lambda _{1}-\lambda _{2}={\sqrt {5}}}$

volgt dat

${\displaystyle A_{1}={\frac {1}{\sqrt {5}}}}$,

zodat de algemene oplossing is:

${\displaystyle x_{n}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{n}-(1-{\sqrt {5}})^{n}}{2^{n}{\sqrt {5}}}}}$.