Gram-Schmidtmethode

In een vectorruimte met inproduct ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ zijn de lineair onafhankelijke vectoren ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ gegeven. De Gram-Schmidtmethode berekent de orthogonale vectoren ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ als volgt:

${\displaystyle y_{1}=x_{1}}$

voor ${\displaystyle i=2,\ldots ,n}$ is:

${\displaystyle y_{i}=x_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\langle x_{i},y_{j}\rangle }{\langle y_{j},y_{j}\rangle }}y_{j}}$

De formule toont hoe de projectie van ${\displaystyle x_{i}}$ op de vorige vectoren ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{i-1}}$ bepaald is als de som van de afzonderlijke projecties:

${\displaystyle {\frac {\langle x_{i},y_{j}\rangle }{\langle y_{j},y_{j}\rangle }}y_{j}}$

De drie vectoren in de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ met het gewone inproduct,

${\displaystyle x_{1}=(3,1,2,1),\quad x_{2}=(2,2,2,3),\quad x_{3}=(2,1,3,2)}$

zijn lineair onafhankelijk en spannen een driedimensionale deelruimte op. In deze deelruimte kan met de Gram-Schmidtmethode uit de drie gegeven vectoren een orthogonale basis ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},b_{3}\}}$ bepaald worden.

${\displaystyle b_{1}=x_{1}=(3,1,2,1)}$

${\displaystyle b_{2}=x_{2}-{\frac {\langle x_{2},b_{1}\rangle }{\langle b_{1},b_{1}\rangle }}b_{1}=(2,2,2,3)-{\tfrac {15}{15}}(3,1,2,1)=(-1,1,0,2)}$

${\displaystyle b_{3}=x_{3}-{\frac {\langle x_{3},b_{1}\rangle }{\langle b_{1},b_{1}\rangle }}b_{1}-{\frac {\langle x_{3},b_{2}\rangle }{\langle b_{2},b_{2}\rangle }}b_{2}=}$

${\displaystyle =(2,1,3,2)-{\tfrac {15}{15}}(3,1,2,1)-{\tfrac {3}{6}}(-1,1,0,2)={\tfrac {1}{2}}(-1,-1,2,0)}$

Eenvoudig is na te gaan dat:

${\displaystyle \langle b_{1},b_{2}\rangle =\langle b_{1},b_{3}\rangle =\langle b_{2},b_{3}\rangle =0}$