Warmtevergelijking

In drie dimensies heeft de vergelijking de volgende vorm:

${\displaystyle u_{t}=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})}$,

waarin:

• ${\displaystyle u(t,x,y,z)}$ de temperatuur is als functie van tijd en ruimte;
• ${\displaystyle u_{t}}$, de partiële afgeleide naar de tijd, de mate van temperatuurverandering is in de tijd in een gegeven punt;
• ${\displaystyle u_{xx}}$, ${\displaystyle u_{yy}}$, en ${\displaystyle u_{zz}}$ de tweede partiële afgeleiden zijn van de temperatuur naar een van de richtingen ${\displaystyle x,\,y}$ en ${\displaystyle z}$.
• ${\displaystyle k}$ een materiaal-specifieke constante, de temperatuurvereffeningscoëfficiënt is

Voor willekeurige dimensies kan de warmtevergelijking door middel van de Laplace-operator beschreven worden.

${\displaystyle u_{t}=k\Delta u}$

Hierin wordt de Laplace-operator genomen over de variabelen die de ruimte beschrijven (in bovenstaand voorbeeld ${\displaystyle x,\,y}$ en ${\displaystyle z}$).

Om van de warmtevergelijking een zinvolle wiskundige (en fysische) probleemstelling te maken, moet ze nog aangevuld worden met randvoorwaarden. Dat wil zeggen dat bepaalde aspecten van de onbekende functie ${\displaystyle u}$ a priori worden vastgelegd op de rand van een deelverzameling van de ruimte-tijd. Meestal neemt dit de vorm aan van een afzonderlijke beginvoorwaarde op tijdstip ${\displaystyle t=0}$ en een ruimtelijke randvoorwaarde op de rand van een deelverzameling van de ruimtelijke coördinaten. In dat geval zoeken we naar functies ${\displaystyle u}$ voor strikt positieve tijdstippen en voor ruimtelijke coördinaten die binnen de gegeven deelverzameling liggen.

Voor de beginvoorwaarde wordt meestal de waarde van ${\displaystyle u}$ zelf vastgelegd voor ${\displaystyle t=0}$ en voor elke mogelijk punt in de ruimte (of het relevante deel van de ruimte).

Voor de ruimtelijke randvoorwaarde legt men meestal de waarde van ${\displaystyle u}$ zelf vast (probleem van Dirichlet), of haar richtingsafgeleide loodrecht op de rand van de gegeven verzameling (probleem van Neumann), of een combinatie van beiden.

De aanpak bestaat er meestal in, voor de specifieke vorm van de randvoorwaarden een geschikte greense functie te vinden. Bij ruimtelijke dimensie een betekent dit een functie

${\displaystyle g(t_{1},x_{1},t_{2},x_{2})}$

die als functie van ${\displaystyle t_{1}}$ en ${\displaystyle x_{1}}$ voldoet aan de warmtevergelijking, maar waarbij de rand- en beginvoorwaarden herleid zijn tot een diracfunctie geconcentreerd in ${\displaystyle (t_{2},\,x_{2})}$.

De eigenlijke oplossing van het randvoorwaardeprobleem is dan de integraal van deze greense functie, gewogen met de echte begin- en randvoorwaarden als functie van ${\displaystyle t_{2}}$ en ${\displaystyle x_{2}}$.