Omzettertheorie toegepast in de elektro-akoestiek

Bij een elektrodynamische omzetter (afkorting E-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging – ten gevolge van een elektrische stroom – van een geleider in een statisch magnetisch veld. Daarom wordt deze ook wel elektromagnetische omzetter genoemd. Deze omzetter is omkeerbaar. Voorbeeld van deze omkeerbaarheid zijn een elektromotor en een dynamo.

Diagram elektromagnetische omzetter

De E-M omzetter volgt de wet van Lorentz:

${\displaystyle F=Bli}$

${\displaystyle U=Blv}$

waarin:

${\displaystyle F}$	de ontwikkelde kracht in Newton ${\displaystyle N}$
${\displaystyle B}$	de fluxdichtheid in ${\displaystyle {Vs}/{m^{2}}}$
${\displaystyle l}$	de totale lengte van de geleider in meter ${\displaystyle m}$
${\displaystyle i}$	de stroom in ampere ${\displaystyle A}$
${\displaystyle U}$	de spanning in volt ${\displaystyle V}$
${\displaystyle v}$	de snelheid in ${\displaystyle m/s}$

Uit de bovenstaande betrekkingen wordt de vierpoolvergelijking gedestilleerd:

${\displaystyle U=0F+Blv}$

${\displaystyle i={\frac {1}{Bl}}F+0v}$

en in de matrix schrijfwijze:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}U\\i\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}0&Bl\\{\frac {1}{Bl}}&0\\\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}F\\v\end{pmatrix}}}$

De mechanische impedantie ${\displaystyle Z_{m}}$ wordt gevonden uit het quotiënt van de kracht ${\displaystyle F}$ en snelheid ${\displaystyle v}$. De eenheid is ${\displaystyle {\frac {Ns}{m}}}$. Uit de Lorentz wet ontstaan dan:

${\displaystyle Z_{el}={\frac {(Bl)^{2}}{Z_{m}}}\quad {\frac {V}{A}}=ohm}$

Op deze wijze is een directe betrekking tussen de elektrische en mechanische impedanties. Het verband tussen het elektrisch en het mechanisch vermogen is:

${\displaystyle Ui=Fv\quad VA=Nm/s}$

Bij een magnetodynamische omzetter (afkorting M-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door beweging van een anker ten gevolge van een wisselend magnetisch veld. Deze omzetter is omkeerbaar.

Diagram magnetodynamische omzetter

De betrekkingen zijn:

${\displaystyle U=-{\frac {\omega n}{F}}}$

${\displaystyle F=-{\frac {H}{\omega n}}v}$

waarin:

${\displaystyle U}$	de aangelegde spanning in volt ${\displaystyle V}$
${\displaystyle -}$	betekent 180 graden fasedraaiing
${\displaystyle \omega }$	de cirkelfrekwentie in ${\displaystyle H_{z}}$
${\displaystyle H}$	de magnetische veldsterkte in ${\displaystyle {A}/{m}}$
${\displaystyle F}$	de ontwikkelde kracht in Newton ${\displaystyle N}$
${\displaystyle n}$	het aantal windingen van de spoel om de magneet
${\displaystyle v}$	de snelheid in ${\displaystyle m/s}$

De vierpoolvergelijking zijn:

${\displaystyle U=-{\frac {\omega n}{H}}F+0v}$

${\displaystyle i=0F+{\frac {H}{\omega n}}v}$

in de matrix schrijfwijze:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\frac {\omega n}{H}}&0\\0&-{\frac {H}{\omega n}}\\\end{bmatrix}}}$

Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

${\displaystyle Z_{el}={\frac {\omega ^{2}n^{2}}{H^{2}}}Z_{m}}$

Op deze wijze is een mechanische impedantie getransformeerd naar een elektrische impedantie. De getransformeerde mechanisch cirquit elementen behouden hun topologische plaats. Serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.

Bij een piëzo-elektrische omzetter (afkorting P-M) wordt elektrische energie omgezet in mechanische energie door de deformatie (vervorming) van de kristalassen in het materiaal waardoor beweging ontstaat. Deze omzetter is omkeerbaar.

Figuur piëzo-elektrische omzetter

De betrekkingen zijn:

${\displaystyle U=kF}$

${\displaystyle i={\frac {1}{k}}v}$

waarin:

${\displaystyle k}$	de evenredigheidsfactor in ${\displaystyle {\frac {V}{N}}={\frac {As}{m}}}$
${\displaystyle U}$	de aangelegde spanning in volt ${\displaystyle V}$
${\displaystyle i}$	de ingaande stroom in ${\displaystyle {A}}$
${\displaystyle F}$	de ontwikkelde kracht in Newton ${\displaystyle N}$
${\displaystyle v}$	de snelheid in ${\displaystyle m/s}$

De factor ${\displaystyle k}$ is te bepalen door aan een strip piëzomateriaal een bekende spanning te leggen en dan de kracht te meten waarmee het stripje wordt omgebogen of, andersom, een bekende kracht aan te wenden en dan op een ballistische galvanometer de lading te bepalen, die getransporteerd wordt.

De vierpoolvergelijkingen zijn:

${\displaystyle U=kF+0v}$

${\displaystyle i=0F+{\frac {1}{k}}v}$

in de matrix schrijfwijze:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\\\end{bmatrix}}}$

Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

${\displaystyle Z_{el}=k^{2}Z_{m}}$

De mechanische impedantie wordt getransformeerd naar een elektrische impedantie en de cirquit elementen behouden hun topologische plaats in het cirquitdiagram dat wil zeggen serie- en parallelschakelingen blijven gehandhaafd.

Figuur Mechanoakoestische omzetter

Als sluitstuk van de serie meest voorkomende omzetters wordt de mechanoakoestische omzetter beschreven, daar deze altijd de laatste omzetter vormt in een elektroakoestisch systeem. Voorbeelden van mechanoakoestische omzetters zijn membranen als trommelvellen en luidsprekerconussen.

De mechanoakoestische omzetter (afkorting M-A) zet mechanische energie in akoestische energie door het in trilling brengen van de omringende lucht (of ander medium). Deze omzetter is omkeerbaar.

De betrekkingen zijn:

${\displaystyle U=A.v}$

${\displaystyle p={\frac {F}{A}}}$

waarin:

${\displaystyle U}$	de volumesnelheid in ${\displaystyle \quad {\frac {m^{3}}{s}}}$
${\displaystyle p}$	de geluidsdruk in ${\displaystyle \quad N/m^{2}}$
${\displaystyle A}$	het oppervlak waarover getransformeerd wordt (bijvoorbeeld een membraan) in ${\displaystyle \quad m^{2}}$

De vierpoolvergelijkingen zijn:

${\displaystyle F=Ap+0U}$

${\displaystyle i=0p+{\frac {1}{A}}U}$

in de matrix schrijfwijze:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&{\frac {1}{A}}\\\end{bmatrix}}}$

Uit de bovenstaande betrekkingen volgt:

${\displaystyle {\frac {p}{U}}\quad }$ ofwel ${\displaystyle \quad Z_{ak}={\frac {Z_{m}}{A^{2}}}\quad }$ in ${\displaystyle \quad Ns/m^{5}}$

De akoestische impedantie wordt via de omzetfactor ${\displaystyle {\frac {1}{A^{2}}}}$ in een mechanische impedantie getransformeerd en de cirquit elementen behouden hun topologische plaats in het cirquitdiagram.

De spanning ${\displaystyle U}$, de kracht ${\displaystyle F}$ en de druk ${\displaystyle P}$ kunnen analoog aan elkaar worden gesteld, daar zij een "kracht"-werking uitoefenen die respectievelijk een stroom ${\displaystyle I}$, een snelheid ${\displaystyle v}$ en een volumesnelheid ${\displaystyle u}$ veroorzaken. Deze eenheden kunnen ook complex zijn.

In de elektrische leer is er de Wet van Ohm:

reëel	complex	eenheid
${\displaystyle {\frac {U}{I}}=R\quad }$	${\displaystyle {\frac {\overline {U}}{\overline {I}}}={\overline {Z}}\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {V}{A}}\end{bmatrix}}\quad }$

Er kan ook een mechanische wet van Ohm verondersteld worden:

reëel	complex	eenheid
${\displaystyle {\frac {F}{v}}=W_{m}\quad }$	${\displaystyle {\frac {\overline {F}}{\overline {v}}}={\overline {Z_{m}}}\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Ns}{m}}\end{bmatrix}}\quad }$

en een akoestische wet van Ohm:

reëel	complex	eenheid
${\displaystyle {\frac {P}{u}}=Z_{ak}\quad }$	${\displaystyle {\frac {\overline {P}}{\overline {u}}}={\overline {Z_{ak}}}\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Ns}{m^{5}}}\end{bmatrix}}\quad }$

Voor het vermogen geldt:

systeem	formule	eenheid
elektrisch:${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle U.I=W\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}VA\ of\ Watt\end{bmatrix}}\quad }$
mechanisch:${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle F.v=W\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Ns}{m}}\ of\ Watt\end{bmatrix}}\quad }$
akoestisch:${\displaystyle \quad }$	${\displaystyle p.u=W\quad }$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {Ns}{m}}\ of\ Watt\end{bmatrix}}\quad }$

Hiermee zijn deze elementaire zaken benoemd en kan de analogie worden vastgesteld tussen elektrische, mechanische en akoestische elementen, zoals bijvoorbeeld zelfinductie, massa en akoestische massa. En verder capaciteit, compliantie (de reciproke waarde van de stijfheid of de veerconstante) en akoestische compliantie.

Een spanning ${\displaystyle U}$ veroorzaakt over een zelfinductie ${\displaystyle L}$ een aangroeiende stroom volgens:

${\displaystyle U=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\longrightarrow {\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}={\frac {U}{L}}}$.

waarin ${\displaystyle L}$ de zelfinductie is (in henry), ${\displaystyle I}$ de stroom en ${\displaystyle {\tfrac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}}$ staat voor de afgeleide naar de tijd.

Dit is analoog aan de aangroeiende snelheid, wanneer een kracht ${\displaystyle F}$ op een massa ${\displaystyle M}$ werkt (Tweede wet van Newton):

${\displaystyle F=M\,{\frac {dv}{dt}}\longrightarrow a={\frac {F}{M}}}$.

waarin ${\displaystyle F}$ de kracht is (in Newton), ${\displaystyle M}$ de massa in kilogram, ${\displaystyle v}$ de snelheid in ${\displaystyle m/s}$ en ${\displaystyle a}$ de eenparige versnelling.

En akoestisch, wanneer een druk ${\displaystyle p}$ aangewend wordt om een akoestische massa ${\displaystyle M}$ te versnellen:

${\displaystyle p=M_{ak}\,{\frac {du}{dt}}}$

waarin ${\displaystyle u}$ de volumesnelheid is in ${\displaystyle {m^{3}}/s}$.

Daar ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle u}$ analoog gesteld zijn kunnen ook ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle M_{ak}}$ analoog worden gesteld.

Op dezelfde wijze wordt de analogie tussen de capaciteit ${\displaystyle C}$, compliantie ${\displaystyle B}$ en de akoestische compliantie ${\displaystyle B_{ak}}$ bepaald.

voor de elektrische condensator geldt:

${\displaystyle U={\frac {1}{C}}\int I\mathrm {d} t}$

mechanisch, wanneer een veer met compliantie ${\displaystyle B}$ gespannen is door een kracht ${\displaystyle F}$ (Wet van Hooke):

${\displaystyle F={\frac {1}{B}}\int v\mathrm {d} t}$

en akoestisch, indien een druk ${\displaystyle p}$ op een oppervlak, waarachter zich een volume bevindt, een volumesnelheid ${\displaystyle u}$ veroorzaakt:

${\displaystyle p={\frac {1}{B_{ak}}}\int u\mathrm {d} t}$

Als de spanning, de kracht en de druk een harmonisch verlopend karakter hebben dan geldt:

de elektrische impedantie ${\displaystyle L}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z}}=j\omega L\quad }$	en van ${\displaystyle C}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z}}={\frac {1}{j\omega C}}}$
de mechanische impedantie ${\displaystyle M}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z_{m}}}=j\omega M\quad }$	en van ${\displaystyle B}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z_{ak}}}={\frac {1}{j\omega B}}}$
de akoestische impedantie ${\displaystyle M_{ak}}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z_{ak}}}=j\omega M{ak}\quad }$	en van ${\displaystyle B_{ak}}$:	${\displaystyle \quad {\overline {Z_{ak}}}={\frac {1}{j\omega B{ak}}}}$

LC-kring

1. In de serieschakeling van een spoel ${\displaystyle L}$ en condensator ${\displaystyle C}$ is voor beide elementen de stroom ${\displaystyle i}$ hetzelfde en dan geldt:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+{\frac {i}{C}}=0}$.

${\displaystyle {\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+{\frac {i}{LC}}=0}$.

Door ${\displaystyle {\frac {1}{LC}}=\omega ^{2}}$ te stellen geeft de differentiaal vergelijking als oplossing:

${\displaystyle i(t)=i_{max}\cos \left(\omega t\right)}$.

Veer-massasysteem

In de serieschakeling van een veer ${\displaystyle B}$ en massa ${\displaystyle M}$, waarvoor voor beide elementen de snelheid ${\displaystyle v}$ dezelfde is, geldt:

${\displaystyle M{\frac {dv}{dt}}+{\frac {1}{B}}\int v\mathrm {d} t=0}$.

${\displaystyle {\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}+{\frac {1}{MB}}v=0}$.

Stel ${\displaystyle {\frac {1}{MB}}=\omega ^{2}}$ dan is de oplossing:

${\displaystyle v(t)=v_{max}\cos \left(\omega t\right)}$.

Akoestisch bezien is een serieschakeling van een compliantie ${\displaystyle B_{ak}}$ en massa ${\displaystyle M_{ak}}$ een Helmholtzresonator. De volumesnelheid ${\displaystyle u}$ is voor beide elementen dezelfde, dus geldt:

${\displaystyle M_{ak}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{B_{ak}}}\int u\mathrm {d} t=0}$.

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {1}{M{ak}B{ak}}}v=0}$.

Stel ${\displaystyle {\frac {1}{M{ak}B{ak}}}=\omega ^{2}}$ dan is de oplossing:

${\displaystyle u(t)=u_{max}\cos \left(\omega t\right)}$.

Analogie luidspreker in vacuüm

Het schema stelt een luidspreker in vacuüm voor. Het membraan (conus) van de luidspreker wordt akoestisch niet belast. Via de E-M omzetter wordt het mechanische circuit van het membraan met de elementen ${\displaystyle R_{m}}$, ${\displaystyle B_{m}}$ en ${\displaystyle m}$. De elementen staan in serie, omdat de snelheid ${\displaystyle v}$ voor de alle circuitelementen hetzelfde is. ${\displaystyle (Bl)^{2}}$ is de omzetfactor.

Er geldt ${\displaystyle Z_{el}={\frac {(Bl)^{2}}{Z_{em}}}\quad }$Ω

${\displaystyle Z_{m}}$ is hier de totale mechanische impedantie van het membraan. ${\displaystyle Z_{el}}$ is de elektrische analogie van ${\displaystyle Z_{m}}$. Het getransformeerde circuit wordt na transformatie van ieder element.

Voor de mechanische weerstand (verliezen) ${\displaystyle R_{m}}$ van het membraan geldt:

${\displaystyle R_{el}={\frac {(Bl)^{2}}{R_{em}}}\quad }$[Ω]

waarin ${\displaystyle R_{el}}$ de gereflecteerde elektrische waarde is van ${\displaystyle R_{m}}$

Voor de mechanische compliantie ${\displaystyle B_{m}}$ geldt:

${\displaystyle L=(Bl)^{2}.B_{em}\quad }$ [Vs/A]

waarin ${\displaystyle L}$ de gereflecteerde elektrische waarde is van de compliantie ${\displaystyle B_{m}}$

Door het gevolg van girerende effect van de omzetter wordt de compliantie gereflecteerd als een zelfinductie ipv een condensator.

Voor de massa ${\displaystyle m}$ geldt:

${\displaystyle C={\frac {m}{(Bl)^{2}}}\quad }$ [As/V]

waarin ${\displaystyle C}$ de gereflecteerde elektrische waarde is van de mechanische massa ${\displaystyle m}$.

Elektrische analogie een membraan

Omdat aan de ingang van het circuit de spanning voor alle elementen hetzelfde is, wordt de serieschakeling als een parallelschakeling weergegeven. Een van de eigenschappen van luidsprekers is dat in de impedantie karakteristiek een piek is te zien als gevolg van de eigen resonantie. Die opslingering is verklaarbaar met de analogie in het circuit.