Frequentierespons

De frequentierespons is de fouriertransformatie van de impulsresponsie van een LTC-systeem. Hij kan ook bekomen worden door in de systeemfunctie (overdrachtsfunctie, transferfunctie) de complexe variabale ${\displaystyle s}$ van Laplace te beperken tot zijn imaginair deel ${\displaystyle j\omega }$. De frequentierespons is zelf ook een complexe functie van de hoekfrequentie ${\displaystyle \omega }$ en wordt genoteerd als

${\displaystyle H(j\omega )}$

Hij kan worden opgesplitst in de amplituderespons ${\displaystyle A(\omega )}$ en de faserespons ${\displaystyle \varphi (\omega )}$:

${\displaystyle H(j\omega )=A(\omega )\,e^{j\varphi (\omega )}}$

Het belang van de frequentierespons is dat daaraan op een snelle manier te zien is hoe een LTC-systeem reageert op een sinusvormige invoer. Een lineair systeem kan nooit de frequentie wijzigen van een sinus, maar wel de amplitude, zoals bepaald door de amplituderespons, en ook de fase zoals bepaald door de faserespons:

Als respons op een invoer

${\displaystyle x(t)=K\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})}$

volgt een uitvoer

${\displaystyle y(t)=A(\omega _{0})K\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0}+\varphi (\omega _{0}))}$

De frequentierespons van luidsprekers kan algemeen voor elk type luidspreker beschreven worden aan de hand van de onderstaande grafiek.

Om de werking te verklaren wordt onderstaand schema gebruikt. Er worden elektrische en mechanische componenten in gebruikt, die met de juiste omrekeningsfactor herleid kunnen worden.

Er worden de volgende SI-eenheden en symbolen gebruikt, in de luidsprekertechniek worden veelal iets afwijkende symbolen gebruikt, zie Thiele/Small.

• A - Effectief oppervlak van de conus of membraan in m² of cm²/10.000.
• c - Geluidssnelheid: 346 m/s bij 25 °C op zeeniveau.
• ρ - Dichtheid van lucht: 1,184 kg/m³ bij 25 °C op zeeniveau.
• m_a - Akoestische massa van de trillende lucht in kg of gram/1000.

${\displaystyle m_{\rm {a}}=\rho \cdot {\sqrt {\frac {A^{3}}{\pi }}}}$

• m_m - Mechanische massa van het ophangsysteem in kg.
• m_t - Totale (m_a + m_m) massa van het ophangsysteem in kg.
• C_m - Compliantie van het ophangsysteem (reciproke van de stijfheid of veerconstante) in m/N.
• R_a - Akoestische weerstand of dempingsconstante van de trillende lucht in beide richtingen in N·s/m of kg/s.

${\displaystyle R_{\rm {a}}=2\cdot \rho \cdot \ c\cdot A}$

• R_e - Gelijkstroomweerstand in Ω.
• R_m - Mechanische weerstand van het ophangsysteem in N·s/m of kg/s.
• f_l of f_s of f_o - Resonantiefrequentie van de luidspreker in Hz.

${\displaystyle f_{\rm {l}}={\frac {1}{2\pi \cdot {\sqrt {C_{\rm {m}}\cdot m_{\rm {t}}}}}}}$

• f_h - Hoogaf-frequentie van de luidspreker in Hz.

${\displaystyle f_{\rm {h}}={\frac {R_{\rm {a}}\cdot m_{\rm {t}}}{2\pi \cdot m_{\rm {a}}\cdot m_{\rm {m}}}}}$

• F_a - Akoestische kracht (geluid) van de luidspreker in N.

${\displaystyle F_{\rm {a}}={\frac {F_{\rm {m}}\cdot m_{\rm {a}}}{m_{\rm {t}}}}}$

• d - Uitwijking van de conus of membraan in m of mm/1000.
• F_m(d,f) - Mechanische kracht van de luidspreker als functie van d en de frequentie f van het ingangssignaal.

${\displaystyle F_{\rm {m}}(d,f)={\frac {d}{C_{\rm {m}}}}\cdot \left({\frac {f}{f_{\rm {l}}}}\right)^{2}}$

• F_a(d,f) - Akoestische kracht van de luidspreker als functie van d en f.

${\displaystyle F_{\rm {a}}(d,f)=m_{\rm {a}}\cdot d\cdot (2\pi \cdot f)^{2}}$

• P_a(d,f) - Akoestisch vermogen in W.

${\displaystyle P_{\rm {a}}(d,f)={\frac {F_{\rm {a}}^{2}}{R_{\rm {a}}}}={\frac {\rho }{2\pi \cdot c}}\cdot (A\cdot d)^{2}\cdot (2\pi \cdot f)^{4}}$

• d_max - Maximale lineaire uitwijking (amplitude) van de conus of membraan.
• P_max - Maximaal effectief akoestisch vermogen in W.

${\displaystyle P_{\rm {max}}={\frac {(2\pi )^{3}\cdot \rho }{2\cdot c}}\cdot (A\cdot d_{\rm {max}})^{2}\cdot f^{4}=0,424\cdot (A\cdot d_{\rm {max}})^{2}\cdot f^{4}}$

• SPL - Sound Pressure Level, geluidsdruk op een halve bol met straal r ten opzichte van de gehoordrempel van 1 pW/m² in dB.

${\displaystyle SPL=120+10\cdot \log \left({\frac {P_{\rm {a}}}{2\pi \cdot r^{2}}}\right)}$

• SPL_max - Maximale geluidsdruk op een afstand r recht voor de luidspreker.

${\displaystyle SPL_{\rm {max}}=40\cdot \log(f)-20\cdot \log(r)+MTB}$

• MTB - Maximum Tremble (trilling) in dB.

${\displaystyle MTB=108,3+20\cdot \log(A\cdot d_{\rm {max}})}$

• Q_m – Mechanische Q van de luidspreker bij f_l.

${\displaystyle Q_{\rm {m}}={\frac {1}{R_{\rm {m}}}}\cdot {\sqrt {\frac {m_{\rm {t}}}{C_{\rm {m}}}}}={\frac {2\pi \cdot f_{\rm {l}}\cdot m_{\rm {t}}}{R_{\rm {m}}}}={\frac {1}{2\pi \cdot f_{\rm {l}}\cdot R_{\rm {m}}\cdot C_{\rm {m}}}}}$

• Q_t – Totale Q van de luidspreker bij f_l.

${\displaystyle Q_{\rm {t}}={\frac {Q_{\rm {m}}\cdot Q_{\rm {e}}}{Q_{\rm {m}}+Q_{\rm {e}}}}}$