Basistransformatie

Zij ${\displaystyle V}$ een vectorruimte met dimensie ${\displaystyle n}$ over het lichaam ${\displaystyle K}$ en ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$ en ${\displaystyle C=\{c_{1},\ldots ,c_{n}\}}$ twee bases van ${\displaystyle V}$. De vectoren uit ${\displaystyle C}$ kunnen uitgedrukt worden als lineaire combinatie van de vectoren in de basis ${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{r}=\mu _{r1}b_{1}+\ldots +\mu _{rn}b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu _{rk}b_{k}}$.

Daarin zijn de ${\displaystyle n^{2}}$ getallen ${\displaystyle (\mu _{rk})}$ de coördinaten van de basisvectoren uit ${\displaystyle C}$ ten opzichte van de basis ${\displaystyle B}$.

Formeel kan de basistransformatie genoteerd worden als:

${\displaystyle C^{T}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mu _{11}&\mu _{12}&\dots &\mu _{1n}\\\mu _{21}&\mu _{22}&\dots &\mu _{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mu _{n1}&\mu _{n2}&\dots &\mu _{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}=M^{T}B^{T}}$.

De relatie tussen de beide bases wordt dus beschreven door de matrix ${\displaystyle (\mu _{rk})}$ die als rijen de coördinaten heeft van de basisvectoren uit ${\displaystyle C}$ ten opzichte van de basis ${\displaystyle B}$. Het is gebruikelijk de getransponeerde van deze matrix, die als kolommen de coördinaten heeft van de basivectoren uit ${\displaystyle C}$ ten opzichte van de basis ${\displaystyle B}$ te benoemen: ${\displaystyle M=(\mu _{rk})^{T}}$.

${\displaystyle C=BM}$.

Een vector ${\displaystyle v\in V}$ heeft ten opzichte van beide bases de voorstellingen:

${\displaystyle v=\beta _{1}b_{1}+\ldots +\beta _{n}b_{n}=\gamma _{1}c_{1}+\ldots +\gamma _{n}c_{n}}$.

Coördinatentransformatie ${\displaystyle M}$

De relatie tussen de coördinaten ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{n}}$ ten opzichte van ${\displaystyle B}$ en de coördinaten ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}}$ ten opzichte van ${\displaystyle C}$ kan gevonden worden uit de relatie:

${\displaystyle v=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}b_{k}=\sum _{r=1}^{n}\gamma _{r}c_{r}=\sum _{r=1}^{n}\gamma _{r}\sum _{k=1}^{n}\mu _{rk}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{r=1}^{n}\gamma _{r}\mu _{rk}b_{k}}$.

Omdat een vector maar op één manier als lineaire combinatie van basisvectoren kan worden geschreven, moet dus gelden dat:

${\displaystyle \beta _{k}=\sum _{r=1}^{n}\gamma _{r}\mu _{rk}}$

Deze relatie is een lineaire afbeelding ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$:

${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n})=(\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{n})(\mu _{rk})=\gamma M^{T}}$,

of:

${\displaystyle \beta ^{T}=M\gamma ^{T}}$

Omgekeerd geldt:

${\displaystyle \gamma ^{T}=M^{-1}\beta ^{T},}$

een relatie die de (nieuwe) coördinaten ten opzichte van ${\displaystyle C}$ uitdrukt in de (oude) coördinaten ten opzichte van ${\displaystyle B}$.

De beide afbeeldingen beschreven door de matrices ${\displaystyle M}$ en ${\displaystyle M^{-1}}$ heten coördinatentransformaties, en elk van de beide matrices wordt wel matrix van basisverandering genoemd. De coördinatentransformatie kan uitgedrukt worden in de coördinatiseringen ${\displaystyle \mathrm {K} _{B}}$ en ${\displaystyle \mathrm {K} _{C}}$:

${\displaystyle M=\mathrm {K} _{B}\mathrm {K} _{C}^{-1}}$.

Vergeleken met de basistransformatie

${\displaystyle C=BM}$

geldt dus:

${\displaystyle \gamma ^{T}=M^{-1}\beta ^{T}}$.

Daaruit blijkt dat de basisvectoren getransformeerd worden met ${\displaystyle M}$ en de bijbehorende coördinaten met ${\displaystyle M^{-1}}$. Dit is niet verwonderlijk, immers, maakt men bijvoorbeeld de basisvectoren langer, dan zullen de bijbehorende coördinaten dienovereenkomstig kleiner worden. Om deze reden worden vectoren wel contravariant genoemd.

In tensornotatie met einsteinnotatie, waarbij een Latijnse letter met index voor iedere indexwaarde een vector voorstelt, samengevat:

Als

${\displaystyle c_{r}=\mu _{r}^{k}b_{k}}$

en

${\displaystyle v=\beta ^{k}b_{k}=\gamma ^{k}c_{k}}$

dan

${\displaystyle \beta ^{k}=\gamma ^{r}\mu _{r}^{k}}$

Een lineaire transformatie van de lineaire ruimte ${\displaystyle V}$ wordt voor de basis ${\displaystyle B}$ gerepresenteerd door de matrix ${\displaystyle A_{B}}$ en voor de basis ${\displaystyle C}$ door de matrix ${\displaystyle A_{C}}$. Er geldt:

${\displaystyle A_{C}=M^{-1}A_{B}M}$