Gehele functie

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een gehele functie (of integrale functie) een complexwaardige functie die holomorf is over het gehele complexe vlak. Typische voorbeelden van gehele functies zijn de polynomen en de exponentiële functie. Verder zijn sommen, producten en composities van gehele functies ook weer geheel.

Elke gehele functie kan om elk punt $c$ worden voorgesteld als een machtreeks

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(z-c)+a_{2}(z-c)^{2}+\ldots

met voor alle $r\in \mathbb {R}$ :

\lim _{n\to \infty }|a_{n}|r^{n}=0

.

Omgekeerd representeert zo'n machtreeks altijd een gehele functie.

Voorbeelden

\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}

\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}

\sinh z={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}

\cosh z={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}

3e^{2z^{2}-7}-5\cdot 10^{\pi e^{-6z}}-8

Tegenvoorbeelden

Noch de natuurlijke logaritme, noch de wortelfuncties zijn analytische voortzettingen van gehele functies.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.