Essentiële singulariteit

In de complexe analyse is een essentiële singulariteit van een functie een "ernstige" singulariteit in de nabijheid waarvan deze functie extreem gedrag vertoont. Een essentiele singulariteit is een singulariteit die geen ophefbare singulariteit of pool is.

Plot van de functie ${\displaystyle \exp(1/z)}$, gecentreerd op de essentiële singulariteit in ${\displaystyle z=0}$. De tint representeert het complexe argument en de luminantie de absolute waarde. Deze plot laat zien hoe het naderen van de essentiële singulariteit uit verschillende richtingen andere gedragingen oplevert (dit in tegenstelling tot een pool, die in deze plot uniform wit zou zijn).

Beschouw een open deelverzameling ${\displaystyle U}$ van het complexe vlak ${\displaystyle \mathbb {C} }$, met daarin een element ${\displaystyle a\in U}$ en een meromorfe functie

${\displaystyle f:U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$

Het punt ${\displaystyle a}$ wordt een essentiële singulariteit voor ${\displaystyle f}$ genoemd, wanneer het punt noch een pool noch een ophefbare singulariteit is. De functie

${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$

heeft bijvoorbeeld een essentiële singulariteit in punt ${\displaystyle z=0}$.

Het punt ${\displaystyle a}$ is een essentiële singulariteit dan en slechts dan als de limiet

${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$

niet bestaat als een complex getal en ook niet gelijk is aan oneindig. Dit is dan en slechts dan het geval als of ${\displaystyle f}$ polen in elke omgeving van ${\displaystyle a}$ heeft of de laurentreeks van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle a}$ oneindig veel termen van negatieve graad heeft (wat wil zeggen dat het "belangrijkste deel" een oneindige som is).

Het gedrag van een meromorfe functie in de buurt van essentiële singulariteiten wordt beschreven door de stelling van Weierstrass-Casorati en ook door de sterkere stelling van Picard. Deze laatste stelling beweert dat in elke omgeving van een essentiële singulariteit ${\displaystyle a}$, de functie ${\displaystyle f}$ elke complexe waarde, behalve misschien eentje, oneindig vaak kan aannemen.