Lineaire vergelijking

Een lineaire vergelijking in één variabele ${\displaystyle x}$ schrijft men meestal als

${\displaystyle ax+b=0}$

met ${\displaystyle a\neq 0.}$

De oplossing van deze vergelijking is

${\displaystyle x={\frac {-b}{a}}}$

Een gebruikelijke vorm van een lineaire vergelijking in twee variabelen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ is

${\displaystyle y=ax+b}$,

waarin ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ constanten aanduiden (de variabele ${\displaystyle y}$ wordt hier vermenigvuldigd met de impliciete constante 1). Elke oplossing ${\displaystyle (x,y)}$ van een lineaire vergelijking kan opgevat worden als een stel coördinaten van een punt in een vlak voorzien van een cartesisch coördinatenstelsel. Met de oplossingsverzameling van de lineaire vergelijking correspondeert dan een rechte lijn in dat vlak. In deze specifieke vergelijking bepaalt de constante ${\displaystyle a}$ de helling of gradiënt van deze lijn, en bepaalt de constante term ${\displaystyle b}$ het punt waar de lijn de ${\displaystyle y}$-as snijdt.

Aangezien de termen in lineaire vergelijkingen per definitie geen producten, machten (behalve de macht 1) of andere functies van verschillende of dezelfde variabelen kunnen bevatten, zijn vergelijkingen met termen als ${\displaystyle xy,\ x^{2},\ y^{1/3},}$ of ${\displaystyle \sin(x)}$ niet lineair.

Een lineaire vergelijking kan betrekking hebben op meer dan twee variabelen. De algemene lineaire vergelijking in ${\displaystyle n}$ variabelen luidt:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}=b.}$

In deze vorm zijn ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ de coëfficiënten, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ de variabelen en is ${\displaystyle b}$ de constante term. Zo'n vergelijking zal een ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionaal hypervlak in de ${\displaystyle n}$-dimensionale euclidische ruimte weergeven (bijvoorbeeld een vlak in de 3-ruimte). Zijn er slechts drie of minder variabelen, dan is het gebruikelijk om de variabelen ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ te vervangen door ${\displaystyle x,y,z.}$

• Oplossen van vergelijkingen