Homothetie (meetkunde)

Een vermenigvuldiging of homothetie is een afbeelding in de meetkunde die elke lijn afbeeldt op een parallelle lijn. Bijgevolg is er een punt dat op zichzelf wordt afgebeeld en de afstand tot dit punt van alle punten en hun beelden dezelfde verhouding hebben.

Driehoek a₁b₁c₁ ontstaat door vermenigvuldiging van driehoek abc ten opzichte van O.

Definitie

Een vermenigvuldiging ten opzichte van een punt $P$ met factor $t\neq 0$ beeldt elk punt $M$ af op een punt $M'$ dat voldoet aan de volgende voorwaarden:

$M'$ ligt op de lijn $MP,$
${\frac {PM'}{PM}}=t,$ waarbij dus het teken van $t$ aangeeft of $PM$ en $M'$ aan dezelfde zijde van $P$ ( $t$ positief) of aan weerszijden van $P$ ( $t$ negatief) liggen.

Eigenschappen

Een homothetie beeldt elke figuur af op een gelijkvormige figuur.
Een homothetie beeldt een veelhoek af op een veelhoek waarvan de zijden evenwijdig zijn aan het origineel.
Zijn van twee gelijkvormige veelhoeken de zijden evenwijdig, dan is er een homothetie die de ene veelhoek op de andere afbeeldt. Het punt $P$ wordt in dat geval het gelijkvormigheidscentrum van de twee figuren genoemd. Voor twee gelijkvormige puntsymmetrische veelhoeken met evenwijdige zijden of twee cirkels zijn in bepaalde gevallen twee homothetieën en dus twee gelijkvormigheidscentra te vinden.
Een homothetie met factor $t$ beeldt een veelhoek met oppervlakte $S$ af op een veelhoek met oppervlakte $t^{2}S.$

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.