Beet-getal

Om de beet-getallen te definiëren beginnen wij met

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

de kardinaliteit van enige aftelbare oneindige verzameling; Neem om het concreet te maken de verzameling ${\displaystyle \mathbb {N} }$ van natuurlijke getallen als een typisch geval. P(A) duidt de machtsverzameling van A aan, dat wil zeggen de verzameling van alle deelverzamelingen van A. Definieer dan

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$,

wat de kardinaliteit is van de machtsverzameling van A, als ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ de kardinaliteit van A is.

Gegeven deze definitie zijn,

${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$

respectievelijk de kardinaliteiten van

${\displaystyle \mathbb {N} ,\ P(\mathbb {N} ),\ P(P(\mathbb {N} )),\ P(P(P(\mathbb {N} ))),\ \dots }$.

zodat het tweede beet-getal ${\displaystyle \beth _{1}}$ gelijk is aan c (of ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$), de kardinaliteit van het continuüm, en het derde beet-getal ${\displaystyle \beth _{2}}$ de kardinaliteit is van de machtsverzameling van het continuüm.

Vanwege de stelling van Cantor heeft elke verzameling in de hierboven getoonde rij een kardinaliteit die strikt genomen groter is dan de eraan voorafgaande verzameling. Voor oneindige limietordinalen, λ, wordt het overeenkomstige beet-getal gedefinieerd als het supremum van de beet-getallen voor alle ordinaalgetallen die strikt genomen kleiner zijn dan λ:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}}$.

Men kan ook aantonen dat de von Neumann-universa ${\displaystyle V_{\omega +\alpha }}$ een kardinaliteit ${\displaystyle \beth _{\alpha }}$ hebben