Impulsoperator

Laat vrije elektronen, U=0, met energie E op een potentiaal barrière V>E stuiten.

${\displaystyle U=0,\;x<0}$

${\displaystyle U=V,\;x>0}$

Voor x<0 is de schrödingervergelijking

${\displaystyle \psi _{l}''+(2mE/\hbar ^{2})\psi _{l}=0}$

een golfvergelijking met oplossing

${\displaystyle \psi _{l}=Ae^{i\alpha x}+Be^{-i\alpha x},\;\alpha ={\sqrt {2mE}}/\hbar }$.

Omdat ${\displaystyle \psi _{l}\not \to 0}$ voor ${\displaystyle x\to -\infty }$ is het geen acceptabele golffunctie maar wel bruikbaar om reflectie en transmissie te berekenen. ${\displaystyle \psi _{l}}$ is geen kwantummechanische beschrijving van een elektron maar van een elektronbundel.

Voor x>0 is de schrödingervergelijking

${\displaystyle \psi _{r}''={2m(V-E) \over \hbar ^{2}}\psi _{r}}$

met oplossing

${\displaystyle \psi _{r}=Ce^{\beta x}+De^{-\beta x},\;\beta ={\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar }$.

C=0 zodat ${\displaystyle \psi _{r}\to 0}$ voor ${\displaystyle x\to \infty }$. De twee oplossingen moeten in x=0 glad aan elkaar passen:

${\displaystyle \psi _{l}(0)=\psi _{r}(0),\;\psi _{l}'(0)=\psi _{r}'(0)}$.

Daaruit volgt:

${\displaystyle {B \over A}={i\alpha +\beta \over i\alpha -\beta },\;{D \over A}={2i\alpha \over i\alpha -\beta }}$.

${\displaystyle |B/A|=1}$ dus er is totale reflectie van de bundel. ${\displaystyle \psi _{l}}$ is een staande golf.

${\displaystyle |D/A|\neq 0}$ dus er is penetratie van de bundel. Elektronen hebben een exponentieel afnemende kans ${\displaystyle \psi _{r}^{2}}$ te komen in x>0 die klassiek ontoegankelijk is.

Een elektron waarop een kracht -sx werkt bij uitwijking x van het evenwichtspunt x=0 slingert met frequentie ${\displaystyle \omega ={\sqrt {s/m}}}$. De potentiële energie U=½sx² dus de hamiltoniaan in de kwantummechanica is.

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}{d^{2} \over dx^{2}}+{s \over 2}x^{2}}$.

De tijdonafhankelijke schrödingervergelijking heeft alleen acceptabele oplossingen voor de golffunctie ${\displaystyle \psi }$ als de elektronenergie E waarden heeft

${\displaystyle E_{n}=(n+1/2)\hbar \omega ,\;n=0,1,2,\cdots }$

De bijbehorende golffuncties zijn:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\;n=0,1,2,\cdots }$

De functies H_n zijn Hermite polynomen:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

De eerste twee golffuncties zijn:

${\displaystyle \psi _{0}=(m\omega /\pi \hbar )^{1/4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }}$,

${\displaystyle \psi _{1}=(m\omega /4\pi \hbar )^{1/4}2(m\omega /\hbar )^{1/2}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }}$.

Hieruit blijken twee dingen:

• De mogelijke E-waarden een discreet spectrum vormen. Klassiek kan het elektron alle waarden E=½sa² hebben (a is de slingeramplitude).
• In de grondtoestand het elektron niet in rust is, ${\displaystyle E_{0}}$ is niet 0. Klassiek is x=p=0 als de slinger in rust is, maar volgens Heisenberg bestaat die toestand niet. Er is een kans ${\displaystyle \psi _{0}^{2}}$ dat x van 0 verschilt.

In het waterstofatoom is de hamiltoniaan van het elektron in het Coulombveld van de kern klassiek

${\displaystyle H={p^{2} \over 2m}-{e^{2} \over 4\pi \epsilon _{0}r}}$

en dus kwantummechanisch

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}-{e^{2} \over 4\pi \epsilon _{0}r}}$.

Voor de oplossing van de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking.