Hasse-Weil-zèta-functie

In de algebraïsche getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Hasse-Weil-zèta-functie verbonden aan een algebraïsche variëteit V, gedefinieerd over een algebraïsch getallenlichaam K, een van de twee belangrijkste typen van L-functies, Zulke L-functies worden in die zin 'globaal' genoemd, dat zij worden gedefinieerd als Euler-producten in termen van lokale zèta-functies. Zij vormen een van de twee belangrijkste klassen van globale L-functies. De andere klasse zijn de L-functies die geassocieerd worden met automorfe representaties.

Men vermoedt dat er in essentie slechts één type globale L-functie bestaat, met twee beschrijvingen (eentje afkomstig van een algebraïsche variëteit en eentje afkomstig van een automorfe representatie); Bewijs van dit vermoeden zou een belangrijke veralgemening van de stelling van Shimura-Taniyama (modulariteitsstelling) betekenen, zelf een zeer diep en recent resultaat uit de getaltheorie.

De beschrijving van de Hasse-Weil-zètafunctie up to een eindig aantal factoren van zijn Euler-product is relatief eenvoudig. Dit volgt de eerste suggesties van Helmut Hasse en André Weil, gemotiveerd door het geval waarin de algebraïsche variëteit V een enkel punt is, en de Riemann-zèta-functie het resultaat is.

In het geval dat K het rationale getallenlichaam Q en V een niet-singuliere projectieve variëteit is, kunnen wij voor bijna alle priemgetallen p de reductie van V modulo p, een algebraïsche variëteit Vp over het eindige veld Fp met p elementen, in beschouwing nemen, door de vergelijkingen voor V te reduceren. Voor bijna alle p zal dit niet-singulier zijn. Wij definiëren

als de Dirichletreeks van de complexe variabele s, wat het oneindige product van de lokale zèta-functies is.

Dan is volgens onze definitie Z(s) slechts "up to" vermenigvuldiging door rationale functies op een eindig aantal manieren welgedefinieerd.

Aangezien de onbepaaldheid relatief onschuldig is, en overal een meromorfe voortzetting heeft, is er een zin waarin de eigenschappen van Z(s) er niet wezenlijk van afhankelijk zijn. Hoewel de precieze vorm van de functionaalvergelijking voor Z(s), die zich weerspiegelt in een verticale lijn in het complexe vlak, zeker zal afhangen van de 'ontbrekende' factoren, doet het bestaan van een dergelijke functionaalvergelijking dit niet.

Een meer verfijnde definitie werd mogelijk als gevolg van de ontwikkeling van de étale cohomologie; dit legt netjes uit wat te doen met de ontbrekende, 'slechte reductie'-factoren. Volgens de algemene beginselen zichtbaar in de vertakkingstheorie, dragen 'slechte' priemgetallen goede informatie (theorie van de conductor). Dit manifesteert zich in de étale-theorie in het citerium van Ogg-Néron-Shafarevich voor een 'goede reductie'; namelijk dat er in een bepaalde zin voor alle priemgetallen p waarvoor de Galois-representatie ρ op de étale cohomologiegroepen van V onvertakt is, een goede reductie bestaat. Voor dezen kan de definitie van lokale zèta-functie worden opgesteld in termen van karakteristieke polynoom van

waar Frob(p) een Frobenius-element voor p is. Wat er gebeurt op de vertakte p is dat ρ niet-triviaal is op de inertiegroep I(p) voor p. Op die priemgetallen moet de definitie worden 'gecorrigeerd', door het nemen van de grootste quotiënt van de representatie ρ waarop de inertiegroep werkt door de triviale representatie. Met deze verfijning kan de definitie van Z(s) succesvol worden opgewaardeerd van 'vrijwel alle' p tot alle p die deelnemen aan het Euler-product. De gevolgen voor de functionaalvergelijking werden in de late jaren zestig van de twintigste eeuw uitgewerkt door Serre en Deligne; de functionaalvergelijking is zelf niet bewezen voor het algemene geval.

Voorbeeld: elliptische kromme over Q

Laat E een elliptische kromme over Q van conductor N zijn. Dan heeft E een goede reductie op alle priemgetallen p die niet delen op N, het heeft multiplicatieve reductie op de priemgetallen p die N exact delen (dat wil zeggen dat p deelt op N, maar p2 dit niet doet, dit wordt geschreven als p || N), en het heeft elders additieve reductie (dat wil zeggen dat de priemgetallen waar p2 delen op N). De Hasse-Weil-zètafunctie van E krijgt dan de vorm

Hier is ζ(s) de gebruikelijke Riemann-zèta-functie en wordt L(s, E) de L-functie van E/Q genoemd. L krijgt de vorm[1]

waar voor een gegeven priemgetal p,

waar, in het geval van een goede reductie ap is p + 1 − (aantal punten van E mod p), en in het geval van multiplicatieve reductie ap is ± 1, afhankelijk van de vraag of E een gesplitste of niet-gesplitste multiplicatieve reductie op  p heeft.

Vermoedens van Hasse-Weil

Het vermoeden van Hasse-Weil beweert dat de Hasse-Weil-zèta-functie zich moet uitstrekken tot een meromorfe functie voor alle complexe getallen s en moet voldoen aan een functionaalvergelijking die vergelijkbaar is met die van de Riemann-zèta-functie. Voor elliptische krommen over de rationale getallen volgt het vermoeden van Hasse-Weil uit de modulariteitsstelling (stelling van Shimura-Taniyama).

Zie ook
  • Rekenkundige zèta-functie

Voetnoten
  1. sectie C.16 van Silverman, Joseph H., ‘’The arithmetic of elliptic curves’’, Springer-Verlag, New York, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-0-387-96203-0, 1992, vol. 106

Referenties
  • J.-P. Serre, Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (définitions et conjectures), 1969/1970, Sém. Delange–Pisot–Poitou, exposé 19

Bronvermelding
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.