Dichte verzameling

In de topologie en aanverwante deelgebieden binnen de wiskunde wordt een deelverzameling $A$ van een topologische ruimte $X$ dicht genoemd als, intuïtief gesproken, elk punt in $X$ "goed-benaderd" kan worden door punten in $A$ . Formeel gesproken is $A$ dicht in $X$ , indien voor elk punt $x\in X$ in elke omgeving van $x$ ten minste één punt van $A$ ligt.

Ten minste één Wikipediagebruiker vindt dat de onderstaande inhoud, of een gedeelte daarvan, samengevoegd zou moeten worden met Dicht (wiskunde), of dat er een duidelijkere afbakening tussen deze artikelen dient te worden gemaakt (hier melden).

Gelijkwaardig: $A$ is dicht in $X$ als de enige gesloten deelverzameling van $X$ die $A$ bevat, $X$ zelf is. Dit kan ook worden uitgedrukt door te zeggen dat de afsluiting van $A$ gelijk is aan $X$ , of dat het inwendige van het complement van $A$ leeg is.

Dichtheid in metrische ruimtes

Een alternatieve definitie van een dichte verzameling in het geval van metrische ruimten is de volgende:

De verzameling $A$ in een metrische ruimte $X$ is dicht als elke $x\in X$ een limiet van een rij van elementen in $A$ is. Immers, wanneer de topologie van $X$ wordt gegeven door een metriek is de afsluiting ${\bar {A}}$ van $A$ in $X$ de vereniging van $A$ en de verzameling van alle limieten van rijen van elementen in $A$ (haar ophopingspunten):

{\bar {A}}=A\cup \{x\in X\mid x=\lim _{n}a_{n},\ a_{n}\in A\}

Dan is $A$ dicht in $X$ als

{\bar {A}}=X

Als $\{U_{n}\}$ een rij van dichte open verzamelingen is in een complete metrische ruimte $X$ , dan is de doorsnede $\bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}$ ook dicht in $X$ . Dit feit is een van de equivalente vormen van de categoriestelling van Baire.

Voorbeelden

Elke topologische ruimte is dicht in zichzelf.
De reële getallen met de gebruikelijke topologie hebben de rationele getallen en de irrationale getallen als dichte deelverzamelingen.
Een metrische ruimte $M$ is dicht in haar vervollediging $\gamma M$ .

Zie ook

Geïsoleerd punt
Scheidbare ruimte, een ruimte met een aftelbare dichte deelverzameling

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.