Complexe logaritme

In de complexe analyse is een complexe logaritme een "inverse" functie van de complexe exponentiële functie, net zoals de natuurlijke logaritme ${\displaystyle y=\ln x}$ de inverse is van de reële exponentiële functie ${\displaystyle x=e^{y}}$. Een logaritme van ${\displaystyle z}$ is dus een complex getal ${\displaystyle w}$, zodanig dat ${\displaystyle e^{w}=z}$.[1] De notatie voor een dergelijke ${\displaystyle w}$ is ${\displaystyle w=\log z}$.

Complexe logaritme getekend met een kleurafbeelding

Omdat elk complex getal ${\displaystyle z}$ ongelijk aan 0 dus een oneindig aantal logaritmen heeft,[1] is de nodige zorg vereist om de het begrip logaritme een eenduidige betekenis te geven:

${\displaystyle \mathrm {Re} (\log z)=\log |z|}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (\log z)}$ is een argument van ${\displaystyle z}$.

Dus als ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ met ${\displaystyle r>0}$ (polaire vorm), dan is ${\displaystyle w=\ln r+i\theta }$ een logaritme van ${\displaystyle z}$; optellen van geheeltallige veelvouden van ${\displaystyle 2\pi i}$ geeft alle andere.[1]