Bijectie

In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen in een-op-eencorrespondentie aan elkaar koppelt. Bijectief wil dus zeggen (zie plaatje rechts) dat elk element uit de verzameling $X$ gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling $Y$ en dat omgekeerd ook elk element van de verzameling $Y$ gekoppeld is aan precies één element uit de verzameling $X$ .

Een bijectie tussen verzamelingen

X

en Y.

Een bijectie van de verzameling $X$ op de verzameling $Y$ heeft een inverse functie van $Y$ naar $X$ . Als $X$ en $Y$ eindige verzamelingen zijn, betekent het bestaan van een bijectie dat beide verzameling hetzelfde aantal elementen hebben. Voor oneindige verzamelingen is het ingewikkelder; het leidt tot het concept van een kardinaalgetal, een manier om te onderscheiden tussen de verschillende grootten van oneindige verzamelingen.

Een bijectieve functie van een verzameling op zichzelf wordt wel een permutatie genoemd.

Bijectieve functies zijn essentieel voor veel deelgebieden binnen de wiskunde, waaronder de definities van isomorfisme, homeomorfisme, diffeomorfisme en permutatiegroep.

De term 'bijectieve afbeelding' werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Definitie

Een bijectie tussen twee verzamelingen $X$ en $Y$ (niet noodzakelijk verschillend), is een functie of afbeelding:

f:X\to Y

die injectief is, dus verschillende elementen uit $X$ afbeeldt op verschillende elementen uit $Y$ en ook surjectief is, dus alle elementen in $Y$ aan een element van $X$ koppelt, dus waarvoor geldt:

uit $f(x_{1})=f(x_{2})$ volgt $x_{1}=x_{2}$
voor alle $y\in Y$ is er een $x\in X$ met $y=f(x)$

Gelijkmachtigheid

In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Zo worden de verzamelingen $\{1,2,3\}$ en $\{4,8,12\}$ gelijkmachtig genoemd, omdat de afbeelding $f:\{1,2,3\}\rightarrow \{4,8,12\}$ met $f(x)=x\cdot 4$ , bijectief is.

Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.

Zo zijn de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig want het is mogelijk een bijectie tussen beiden te vinden. Neem de volgende afbeelding van $\mathbb {N}$ naar $\mathbb {Z}$ :

0 wordt op 0 afgebeeld
een even natuurlijk getal wordt op zijn helft afgebeeld: bijvoorbeeld: 4 wordt afgebeeld op 2
bij een oneven natuurlijk getal wordt eerst 1 opgeteld, en wordt dit resultaat gedeeld door -2: bijvoorbeeld: 5 wordt afgebeeld op -3

Meer algemeen:

2n\,\mapsto \,n\quad {\mbox{en}}\quad 2n+1\,\mapsto \,-n-1

Dit is een bijectie want elk natuurlijk getal heeft een eenduidig beeld, en elk geheel getal wordt precies één keer bereikt. Ook de verzameling van rationale getallen $\mathbb {Q}$ is gelijkmachtig met deze twee. De verzameling van reële getallen $\mathbb {R}$ is echter niet gelijkmachtig met de drie vorige, maar dan wel met $\mathbb {R} ^{n}$ voor elke gehele waarde van n groter dan 0.

Voorbeelden en tegenvoorbeelden

Voorbeeld 1

A=\{1,2,3\},\quad B=\{-7,3,10\}

f:A\to B

, met

f(1)=-7,\ f(2)=3,\ f(3)=10

De functie $f$ is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit $B$ wordt aan 2 elementen uit $A$ gekoppeld.

Voorbeeld 2

A=[2,3],\quad B=[2,4]

f:A\to B

, met

f(x)=2x-2

Ook deze functie $f$ is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2,5 aan 3 gekoppeld, 2,9 aan 3,8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze verzamelingen $A$ en $B$ is:

g(x)=x^{2}-3x+4

Tegenvoorbeeld 1

A=\{1,2,3\},\quad B=\{-7,3,10\}

f:A\to B

, met

f(1)=3,\ f(2)=3,\ f(3)=10

Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en dus is ze niet surjectief, en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt, is ze niet injectief. Een bijectie is zowel injectief als surjectief, hieruit volgt dat $f$ niet bijectief is.

Tegenvoorbeeld 2

A=[-1,1],\quad B=[0,1]

f:A\to B

, met

f(x)=x^{2}

Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van $B$ gekoppeld wordt aan een element van $A$ , maar sommige elementen van $B$ worden aan twee verschillende elementen van $A$ gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld $f(-1)=f(1)=1$ .

Tegenvoorbeeld 3

A=[0,1],\quad B=[0,2]

f:A\to B

, met

f(x)=x+1

Dit is geen bijectie, want $f$ is niet surjectief omdat niet alle elementen uit $B$ worden gekoppeld aan een element uit $A$ . Het element 0 in $B$ bijvoorbeeld is van geen enkel element uit $A$ het beeld. De functie $f$ is wel injectief, want geen twee elementen uit $A$ worden gekoppeld aan hetzelfde element van $B$ .

Zie ook

Voetnoten

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.