Discontinuïteit
Een functie is discontinu in een punt indien de functie daar niet continu is. Intuïtief betekent dit dat de functie daar niet in één vloeiende lijn getekend kan worden: er is bijvoorbeeld een gat of een sprong. Een meer wiskundige beschrijving is te vinden in het artikel over continuïteit.
Classificatie
Naargelang de aard van de discontinuïteit kunnen we deze als volgt classificeren.
![](../I/m/Discontinuity_removable.eps.png)
Ophefbare discontinuïteit
Bij een ophefbare discontinuïteit is de functie niet gedefinieerd in een punt, maar de linkerlimiet is er gelijk aan de rechterlimiet. De functie kan continu gemaakt worden door de functiewaarde in het betreffende punt gelijk te stellen aan zijn limietwaarde.
- Voorbeeld
- De discontinuïteit in x = 1 kan opgeheven worden door f(1) = 1 te stellen.
![](../I/m/Discontinuity_jump.eps.png)
Sprong-discontinuïteit
Bij een sprong-discontinuïteit bestaan linker- en rechterlimiet, maar deze zijn verschillend.
- Voorbeeld
- Nu is er in x = 1 sprake van een sprong-discontinuïteit, deze kan opgeheven worden door in 1 van de vergelijkingen de 'groter dan' of 'kleiner dan' te veranderen in 'groter dan of gelijk aan', respectievelijk 'kleiner dan of gelijk aan'
![](../I/m/Discontinuity_essential.svg.png)
Essentiële discontinuïteit
Bij een essentiële discontinuïteit bestaan linker- en/of rechterlimiet niet of zijn deze oneindig.
- Voorbeeld
- In x = 1 is er nu een essentiële discontinuïteit: de linkerlimiet bestaat niet en de rechterlimiet is oneindig. Merk op dat een van beide volstond om te kunnen spreken van een essentiële discontinuïteit.
Discontinu op een interval
De meeste functies zijn discontinu in bepaalde punten, zoals in de voorbeelden hierboven. Sommige functies zijn echter over een heel interval discontinu.
Een bekend voorbeeld is de Dirichletfunctie. Deze functie is in elk element van zijn domein discontinu, omdat er tussen twee rationale getallen steeds een irrationaal getal ligt en omgekeerd: