Verschalen (meetkunde)

In de euclidische meetkunde is een uniforme verschaling een lineaire transformatie die objecten vergroot of verkleint; De schaalfactor is in alle richtingen dezelfde; de operatie wordt ook wel een homothetie genoemd. Het resultaat van een uniforme verschaling is gelijkvormig (in de meetkundige zin) met het origineel.

Meer algemeen is verschaling met voor elke as afzonderlijke schaalfactoren; een speciaal geval hiervan is richtingverschaling (dat wil zeggen, verschaling in één richting). Vormen kunnen veranderen; een rechthoek kan veranderen in een rechthoek met een andere vorm, maar ook in een parallellogram (de hoeken tussen de lijnen, die parallel aan de assen lopen, blijven in stand, maar de hoeken niet).

Matrixweergave

Een verschaling kan worden weergegeven door een verschalingsmatrix. Om een object te verschalen met een vector v = (v_x, v_y, v_z), moet elk punt p = (p_x, p_y, p_z) worden vermenigvuldigt met deze verschalingsmatrix:

S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}

Zoals hieronder wordt getoond, geeft een vermenigvuldiging het verwachte resultaat:

S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}

Deze verschaling verandert de diameter van een object met een factor die tussen de schaalfactoren in ligt, de oppervlakte door een factor die tussen het kleinste en het grootste product van de twee schaalfactoren in ligt, en de inhoud door het product van alle drie.

Zie ook

Externe link

Begrijpen van 2D Verschaling en Begrijpen van 3D Verschaling door Roger Germundsson, Wolfram Demonstratie Project.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.