Punt van Lemoine

• Volgens de definitie.
• De drie lijnen die het midden van een zijde verbinden met het midden van de hoogtelijn op die zijde, snijden in het punt van Lemoine. Daarom is het punt van Lemoine van een rechthoekige driehoek het midden van de hoogtelijn op de hypotenusa.
• De constructie van Grebe: Plak aan de buitenkant van elke zijde een vierkant. Verleng de zijden van de vierkanten tegenover de zijden van de driehoek tot een driehoek. Deze driehoek is perspectief met de gegeven driehoek, het perspectiviteitscentrum is het punt van Lemoine.

Eerste cirkel van Lemoine

Teken de lijn ${\displaystyle \ell _{a}}$ door het punt van Lemoine K die evenwijdig is aan BC en markeer de snijpunten op AB en AC als respectievelijk B_a en C_a. Teken op dezelfde wijze lijnen ${\displaystyle \ell _{b}}$ en ${\displaystyle \ell _{c}}$ met punten A_b, C_b, A_c en B_c. Deze zes punten liggen op een cirkel, de eerste cirkel van Lemoine. Het middelpunt van deze cirkel is het midden van het lijnstuk OK, waar O het middelpunt van de omgeschreven cirkel is. De eerste cirkel van Lemoine is een Tuckercirkel.

Tweede cirkel van Lemoine

Teken de lijn ${\displaystyle \ell _{a}}$ door het punt van Lemoine K die antiparallel is aan BC ten opzichte van (AB,AC) en markeer de snijpunten op AB en AC als respectievelijk C_a en B_a. Teken op dezelfde wijze lijnen ${\displaystyle \ell _{b}}$ en ${\displaystyle \ell _{c}}$ met punten A_b, C_b, A_c en B_c. Het punt van Lemoine is het midden van de lijnstukken C_aB_a, A_bC_b en A_cB_c, die allemaal even lang zijn. Deze zes punten liggen dus op een cirkel, de tweede cirkel van Lemoine. Het punt van Lemoine is het het middelpunt van deze cirkel. De cirkel wordt ook wel cosinuscirkel genoemd, omdat de lengtes van de afgesneden lijnstukken van de zijden in vaste verhouding zijn met de cosinussen van de overstaande hoeken. Ook de tweede cirkel van Lemoine is een Tucker cirkel.

• Het punt van Lemoine is isogonaal verwant met het zwaartepunt.
• Barycentrische coördinaten voor het punt van Lemoine zijn (a²:b²:c²).
• Het punt van Lemoine is het punt dat de som van de kwadraten van de afstanden tot de zijden van de driehoek minimaliseert.
• Het punt van Lemoine is het unieke punt dat zwaartepunt is van zijn eigen voetpuntsdriehoek, de stelling van Lemoine.[1]