Stelling van Bolzano-Weierstrass
In de wiskundige analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Bolzano-Weierstrass een fundamenteel resultaat over convergentie in een eindig-dimensionale euclidische ruimte De stelling beweert dat elke begrensde rij in een convergente deelrij heeft. Een gelijkaardige stelling, die gebruikmaakt van de stelling van Bolzano-Weierstrass, beweert dat een deelverzameling van sequentieel compact is dan en slechts dan als deze gesloten en begrensd is.
Geschiedenis
De stelling van Bolzano-Weierstrass is vernoemd naar de wiskundigen Bernard Bolzano en Karl Weierstrass. De stelling werd in 1817 door Bolzano bewezen als een lemma in het bewijs van de tussenwaardestelling. Zo'n vijftig jaar later werd het grote belang van de stelling in zijn eigen recht erkend, nadat Weierstrass haar nogmaals had bewezen. De stelling van Bolzano-Weierstrass is sindsdien uitgegroeid tot een essentiële stelling in de analyse.
Toepassing in de economie
Er bestaan in de economische wetenschap verschillende belangrijke evenwichtsconcepten. Om het bestaan van deze evenwichten te bewijzen maakt men vaak gebruik van variaties van de stelling van Bolzano-Weierstrass. Een voorbeeld is het bestaan van een Pareto-efficiënte allocatie. Een allocatie is een matrix van consumptiebundels voor agenten in een economie. Een allocatie is Pareto-efficiënt als er geen veranderingen kunnen worden aangebracht, die geen enkele agent slechter af en ten minste één agent beter af laat zijn (hier moeten rijen van de allocatiematrix rangschikbaar zijn door een preferentierelatie). De stelling van Bolzano-Weierstrass laat toe dat men kan bewijzen dat als de verzameling van allocaties compact en niet-leeg is, dat het systeem dan een Pareto-efficiënte allocatie heeft.