Tussenwaardestelling

De tussenwaardestelling kan op twee manieren worden geformuleerd.

Tussenwaardestelling voor een waarde

Zij ${\displaystyle f}$ een continue reëelwaardige functie op het interval ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle \gamma }$ een getal tussen ${\displaystyle f(a)}$ en ${\displaystyle f(b)}$, dus

${\displaystyle f(a)\leq \gamma \leq f(b)}$, indien ${\displaystyle f(a)\leq f(b)}$

of

${\displaystyle f(b)\leq \gamma \leq f(a)}$, indien ${\displaystyle f(b)\leq f(a)}$.

Dan bestaat er een ${\displaystyle c\in [a,b]}$ met ${\displaystyle f(c)=\gamma }$.

In het speciale geval dat ${\displaystyle \gamma =0}$ is het de stelling van Bolzano.

Tussenwaardestelling voor een interval

Zij ${\displaystyle [a,b]}$ en ${\displaystyle f}$ als boven. Dan komen alle waarden tussen ${\displaystyle f(a)}$ en ${\displaystyle f(b)}$ in ${\displaystyle f([a,b])}$ voor:

${\displaystyle [f(a),f(b)]\subseteq f([a,b])}$, indien ${\displaystyle f(a)\leq f(b)}$

of

${\displaystyle [f(b),f(a)]\subseteq f([a,b])}$, indien ${\displaystyle f(b)\leq f(a)}$

De functie ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ is continu op ${\displaystyle [0,2]}$. Er is dus altijd een ${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$ te vinden met ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq 4}$.