Stelling van Bachet-Bézout

De stelling van Bachet-Bézout is mede vernoemd naar Étienne Bézout, die de stelling bewees voor polynomen. Maar de stelling was al eerder voor de gehele getallen geponeerd door de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac.[1]

De bézoutgetallen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ (zie hierboven) kunnen worden bepaald met behulp van het uitgebreide algoritme van Euclides. Ze zijn echter niet uniek. Als het paar ${\displaystyle (x,y)}$ een oplossing is, dan zijn daaruit oneindig veel oplossingen te construeren. Deze worden namelijk gegeven door

${\displaystyle \left\{\left.\left(x+{\frac {kb}{\mathrm {ggd} (a,b)}},\ y-{\frac {ka}{\mathrm {ggd} (a,b)}}\right)\right|k\in \mathbb {Z} \right\}.}$

Het bewijs is constructief. Met het uitgebreide algoritme van Euclides kan voor elke ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ de ggd uitgedrukt worden als een gehele lineaire combinatie van resultaten die zelf weer gehele lineaire combinaties zijn van andere tussenresultaten. In een eindig aantal stappen laten die tussenresultaten zich uitdrukken als een gehele lineaire combinatie van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$.

De lineaire diofantische vergelijking ${\displaystyle ax+by=c}$ heeft dan en slechts dan een gehele oplossing als ${\displaystyle c}$ door de ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)}$ is te delen.

In het geval van de stelling is ${\displaystyle c=d=\mathrm {ggd} (a,b)}$, dus is ${\displaystyle c}$ door de ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)}$ te delen, en heeft de vergelijking

${\displaystyle ax+by=d=\mathrm {ggd} (a,b)}$

een oplossing.

Stel nu dat er een ${\displaystyle c}$ is, dat voor zekere door het Algoritme van Euclides bepaalde gehele ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ gelijk is aan:

${\displaystyle ax+by=c}$

Dan moet ${\displaystyle c}$ een veelvoud van ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)}$ zijn en is

${\displaystyle d=\mathrm {ggd} (a,b)\leq c}$

De grootste gemene deler van 63 en 105 is 21. De stelling Bachet-Bézout beweert dat er een geheeltallige oplossing moet bestaan voor ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ in de vergelijking ${\displaystyle 63x+105y=21.}$

Een van de oplossingen is ${\displaystyle x=2}$ en ${\displaystyle y=-1;}$ inderdaad is ${\displaystyle 63\cdot 2+105\cdot (-1)=126-105=21.}$

Andere oplossingen zijn ${\displaystyle x=-3,y=2}$ en ${\displaystyle x=7,y=-4.}$

Algemeen zegt deze stelling dat er voor elk eindig aantal getallen ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ gehele getallen ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {Z} }$ zijn, zodat:

${\displaystyle \mathrm {ggd} (a_{1},a_{2},...,a_{n})=\alpha _{1}a_{1}+\alpha _{2}a_{2}+\ldots +\alpha _{n}a_{n}.}$

Dit kan met volledige inductie worden aangetoond.

Deze stelling heeft enkele belangrijke gevolgen. Deze worden hier niet bewezen, maar ze volgen vrijwel allemaal rechtstreeks uit de stelling.

1. De diofantische vergelijking ${\displaystyle a<x+by=c}$ in de variabelen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y,}$ dus met gehele ${\displaystyle a,b,c,x}$ en ${\displaystyle y}$ heeft alleen dan oplossingen als de ggd van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ een deler is van ${\displaystyle c.}$
2. Iedere gemeenschappelijke deler van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is ook deler van de ggd van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b.}$
3. Voor alle gehele ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ geldt dat ${\displaystyle \mathrm {ggd} (\mathrm {ggd} (a_{1},a_{2}),a_{3},\ldots ,a_{n})=\mathrm {ggd} (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\,}$
4. Voor alle ${\displaystyle a,b}$ en ${\displaystyle c}$ geldt dat ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,bc)}$ een deler is van het product ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,b)\cdot \mathrm {ggd} (a,c).}$ In het bijzonder geldt dus dat ${\displaystyle \mathrm {ggd} (a,bc)=\mathrm {ggd} (a,c).}$ als ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ relatief priem zijn.
5. Voor elke natuurlijke ${\displaystyle n}$ en gehele ${\displaystyle a}$ is er een ${\displaystyle b}$ zodat ${\displaystyle ab=\mathrm {ggd} (a,n){\pmod {n}}.}$
6. Voor alle ${\displaystyle c}$ en delers ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ van ${\displaystyle c}$ geldt dat ${\displaystyle ab/\mathrm {ggd} (a,b)}$ ook een deler is van ${\displaystyle c.}$ In het bijzonder geldt dat ieder getal dat tegelijk een veelvoud is van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b,}$ ook een veelvoud is van ${\displaystyle ab/\mathrm {ggd} (a,b).}$ Het kleinste gemene veelvoud ${\displaystyle \mathrm {kgv} (a,b)}$ van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ is dus gelijk aan ${\displaystyle ab/\mathrm {ggd} (a,b).}$