Volledige inductie

In de wiskunde is volledige inductie een methode om te bewijzen dat een uitspraak geldig is voor alle natuurlijke getallen. Het is de bekendste vorm van wiskundige inductie.

Volledige inductie kan worden geïllustreerd aan de hand van het domino-effect.

Omdat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn, kan een dergelijk bewijs niet voor elk getal afzonderlijk worden geleverd. Volledige inductie houdt in dat het bewijs wordt geleverd voor het getal 0 en dat wordt bewezen dat als de uitspraak geldig is voor enig natuurlijk getal, de uitspraak ook geldig is voor de opvolger van dit getal. Zonder dat voor ieder natuurlijk getal de uitspraak afzonderlijk is bewezen, kan men nu concluderen dat ze voor elk natuurlijk getal $n$ geldig is. Uit de geldigheid voor 0 volgt immers de geldigheid voor 1 en uit de geldigheid voor 1 volgt die voor 2, enzovoort. Zo volgt de geldigheid voor ieder getal $n$ .

Men vergelijkt de methode soms met het domino-effect. Elke steen die omvalt laat z'n opvolger omvallen. Valt de eerste steen om, dan zullen dus alle stenen omvallen.

Het is niet nodig dat het inductiebegin bij het getal 0 ligt. Soms neemt men het begin bij 1, maar ook kan het begin bij een groter getal liggen, omdat de uitspraak niet geldig is voor kleinere getallen. Daarom wordt in de definitie het inductiebegin bij een willekeurig getal $m$ gelegd.

De onderstaande behandeling van de volledige inductie is te danken aan Giuseppe Peano.

Definities

Voor het bewijs dat een uitspraak $E_{n}$ geldig is voor alle natuurlijke getallen $n\geq m$ , kan eerst bewezen worden dat de uitspraak geldig is voor $n=m$ , dus dat $E_{m}$ geldig is. Deze eerste stap heet het 'inductiebegin'. De volgende stap is, dat uit de veronderstelling dat de uitspraak waar is voor een getal $\scriptstyle n\geq m$ , dus dat $E_{n}$ geldig is, de uitspraak ook waar is voor het volgende getal, dus dat $E_{n+1}$ geldig is. De gekozen veronderstelling is de 'inductieveronderstelling' of inductiehypothese, de redenering naar het volgende getal heet de 'inductiestap'. Een dergelijk bewijs heet een bewijs met volledige inductie, of met verwijzing naar het getal $n$ , volledige inductie naar $n$ .

Bewijsschema

De definitie laat zich vertalen in de volgende stappen voor het bewijs dat $E_{n}$ geldig is voor alle natuurlijke getallen $n\geq m$ :

Zwakke inductie

inductiebegin: bewijs dat $E_{m}$ geldig is
inductieveronderstelling: neem aan dat $E_{n}$ geldig is voor een $n\geq m$
inductiestap: bewijs dat uit de inductieveronderstelling volgt dat $E_{n+1}$ geldig is.

Sterke inductie

Soms blijkt het nodig, of handig, als inductieveronderstelling de juistheid van alle uitspraken tot en met de index $n$ te veronderstellen. Dit bewijsschema heet sterke inductie en levert een gelijkwaardige vorm van volledige inductie op.

inductiebegin: bewijs dat $E_{m}$ geldig is
inductieveronderstelling: neem aan dat $E_{p}$ geldig is voor alle $p$ met $m\leq p\leq n$
inductiestap: bewijs dat uit de inductieveronderstelling volgt dat $E_{n+1}$ geldig is.

Beide zijn een vorm van een bewijs met volledige inductie.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

De somformule van Gauss voor de getallen 1 tot en met $n$ , die geldig is voor alle natuurlijke getallen, is:

\sum _{k=0}^{n}k=1+2+\ldots +n={\tfrac {1}{2}}n(n+1)

Het bewijs met volledige inductie naar $n$ gaat als volgt.

Inductiebegin

De formule is geldig voor $n=0$ , want:

\sum _{k=0}^{0}k=0={\tfrac {1}{2}}0(0+1)

Inductieveronderstelling

Veronderstel dat voor een zekere $n$ geldt:

\sum _{k=0}^{n}k={\tfrac {1}{2}}n(n+1)

Inductiestap

Voor $n+1$ geldt dan:

\sum _{k=0}^{n+1}k=\sum _{k=0}^{n}k+(n+1)={\tfrac {1}{2}}n(n+1)+(n+1)={\tfrac {1}{2}}(n+1)(n+2)

,

waarmee, met gebruik van de inductieveronderstelling, de geldigheid voor $n+1$ is aangetoond.

Er is een eenvoudiger bewijs, zonder gebruikmaking van inductie; zie somformule van Gauss.

Voorbeeld 2

Ieder positief geheel getal $n$ is door een priemgetal te delen.

Het bewijs gaat met volledige inductie naar $n$ volgens de tweede vorm van het bewijsschema.

Inductiebegin: 2 is door een priemgetal te delen, namelijk door 2 zelf.

Inductieveronderstelling: Tot en met $n$ zijn alle getallen door een priemgetal te delen.

Inductiestap

Voor het geval $n+1$ zelf een priemgetal is, is de inductiestap gedaan.
Anders zijn er twee getallen $a$ en $b$ , zodat $n+1=a\cdot b$ . Voor $a$ en $b$ geldt dat $2\leq a,b\leq n$ . De getallen $a$ en $b$ zijn beide volgens de inductieveronderstelling door een priemgetal te delen. Kies een priemgetal $p$ waarvoor geldt dat $a$ door $p$ is te delen. Nu moet $n+1$ ook door $p$ zijn te delen. Daarmee is ook voor dit geval de inductiestap gedaan.

Voorbeeld 3

Een deel van de stelling van Zeckendorf wordt ook bewezen met de tweede vorm van het bewijsschema. Deze stelling zegt dat alle Fibonacci-getallen op een unieke manier de som zijn van een aantal niet opeenvolgende Fibonacci-getallen.

Voorbeeld 4

Om te bewijzen dat de methode van Laplace om een determinant te berekenen dezelfde uitkomst geeft als de methode van Leibniz, wordt de bewijsmethode van inductie gebruikt. Omdat de methode van Laplace recursief is en het bewijs deze recursieve stappen ook teruggaat, is het bewijs een bewijs met inductie.

Voorbeeld 5

De determinant van Vandermonde $V_{n}$ van de orde $n$ is als volgt gedefinieerd

V_{n}={\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\ldots &x_{1}^{n-2}&x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\ldots &x_{2}^{n-2}&x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\ldots &x_{n}^{n-2}&x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}

Het aantal variabelen $x_{i}$ in deze determinant is $n$ .

Voor deze determinant geldt:

V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})

Het bewijs hiervan gaat met volledige inductie naar $n$ .

Bronnen, noten en/of referenties

"The theory of the foundations of mathematics - 1870 to 1940" - M. Scheffer
"De taal van de wiskunde - een verkenning van wiskundig taalgebruik en logische redeneerpatronen" - R.P. Nederpelt, Uitgeverij Versluys, ISBN 90-249-1696-8

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.