Ring van verzamelingen (maattheorie)

Zij ${\displaystyle X}$ een verzameling. Een niet-lege familie ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset 2^{X}}$ is een ring van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$ als

1. ${\displaystyle \forall E,F\in {\mathcal {R}}:E\cup F\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle \forall E,F\in {\mathcal {R}}:E\setminus F\in {\mathcal {R}}}$

Elke ring bevat de lege verzameling: de ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is namelijk per definitie een niet-lege collectie, en het verschil van een element ${\displaystyle E\in {\mathcal {R}}}$ met zichzelf is de lege verzameling.

Het kleinst mogelijke voorbeeld van een ring van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$ is dan ook het singleton ${\displaystyle \left\{\emptyset \right\}.}$ De grootst mogelijke ring van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$ is ${\displaystyle 2^{X},}$ de collectie van alle deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$ (zie machtsverzameling).

Een niet-triviaal voorbeeld van een ring wordt gevormd door de collectie ${\displaystyle 2^{(X)}}$ van alle eindige deelverzamelingen van een gegeven oneindige verzameling ${\displaystyle X}$.

Een ring is ook stabiel onder de vorming van de doorsnede ${\displaystyle E\cap F}$ en het symmetrisch verschil ${\displaystyle E\Delta F}$ van twee verzamelingen. De doorsnede kan worden opgevat als een soort vermenigvuldiging, en het symmetrisch verschil als een soort optelling. Uitgerust met die twee bewerkingen krijgt een ring van verzamelingen ${\displaystyle \left({\mathcal {R}},\Delta ,\cap \right)}$ de algebraïsche structuur van een Booleaanse ring, wat meteen ook de naam verklaart.

Een ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ van deelverzamelingen van ${\displaystyle X}$ hoeft niet altijd ${\displaystyle X}$ zelf als element te bevatten. Indien hij dat wel doet, spreken we van een algebra van verzamelingen.