Ricci-tensor

Net als de metrische tensor is de ricci-tensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemann-variëteit[1] De ricci-tensor is het spoor van de riemann-tensor.

Meer precies, stel dat ${\displaystyle (M,g)}$ een n-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is. Noteer met ${\displaystyle T_{p}M}$ de raakbundel van M ter hoogte van p. Voor elk paar vectoren

${\displaystyle \xi ,\eta \in T_{p}M}$

in de rakende ruimte, wordt de ricci-tensor ${\displaystyle \mathrm {Ric} (\xi ,\eta )}$ gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van

${\displaystyle T_{p}M\to T_{p}M}$

gegeven door

${\displaystyle \zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi }$

met R de riemann-tensor.

Concreter, gegeven een bepaald coördinatensysteem, kunnen we dit in componenten uitschrijven als

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}}$.

De coëfficiënten ${\displaystyle R_{ij}}$ zijn dan (in einsteinnotatie) gegeven door

${\displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}}$.

De ricci-tensor is dus het spoor van de riemann-tensor. In termen van de christoffelsymbolen wordt de ricci-tensor gegeven door:

${\displaystyle R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }={\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}_{,\rho }-\Gamma _{\rho \sigma ,\nu }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }}$

waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging

${\displaystyle ,\rho }$

is een verkorte notatie voor toepassing van ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\rho }}}}$ op de betreffende grootheid.

De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:

${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}}$.

De dimensie van ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ is één gedeeld door de dimensie van de ${\displaystyle \mu }$'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de ${\displaystyle \nu }$'de coördinaat.

Een variëteit met ${\displaystyle R_{ij}=0}$ noemen we ook wel ricci-vlak. In relativiteitstheorie zijn ricci-vlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen van de ruimtetijd.

• Einstein-vergelijking
• Tensoren in de algemene relativiteitstheorie