Ricci-tensor
De ricci-tensor is een wiskundig object uit de differentiaalmeetkunde, genoemd naar Gregorio Ricci-Curbastro. Het is een object dat uitdrukt in welke mate een ruimte verschilt van de gewone euclidische ruimte. Er kan ook een meetkundige interpretatie worden gegeven aan de ricci-tensor, namelijk de verstoring van een eenheidsvolume in de gegeven ruimte.
Formele definitie
Net als de metrische tensor is de ricci-tensor een symmetrische bilineaire vorm op de raakruimte van een pseudo-riemann-variëteit[1] De ricci-tensor is het spoor van de riemann-tensor.
Meer precies, stel dat een n-dimensionale pseudo-riemann-variëteit is. Noteer met de raakbundel van M ter hoogte van p. Voor elk paar vectoren
in de rakende ruimte, wordt de ricci-tensor gedefinieerd als het spoor van de lineaire afbeelding van
gegeven door
met R de riemann-tensor.
Concreter, gegeven een bepaald coördinatensysteem, kunnen we dit in componenten uitschrijven als
- .
De coëfficiënten zijn dan (in einsteinnotatie) gegeven door
- .
De ricci-tensor is dus het spoor van de riemann-tensor. In termen van de christoffelsymbolen wordt de ricci-tensor gegeven door:
waarbij differentiëren met een komma wordt genoteerd: de toevoeging
is een verkorte notatie voor toepassing van op de betreffende grootheid.
De ricci-tensor heeft verder de eigenschap symmetrisch te zijn:
- .
De dimensie van is één gedeeld door de dimensie van de 'de coördinaat, en gedeeld door de dimensie van de 'de coördinaat.
Een variëteit met noemen we ook wel ricci-vlak. In relativiteitstheorie zijn ricci-vlakke ruimtes de vacuüm-oplossingen van de ruimtetijd.
Zie ook
Bronnen, noten en/of referenties
|