Symmetrische bilineaire vorm

Een symmetrische bilineaire vorm is een bilineaire vorm ${\displaystyle B}$ op een vectorruimte ${\displaystyle V}$ met scalairenlichaam ${\displaystyle K}$ die symmetrisch is, dus met de eigenschap dat voor alle ${\displaystyle x,y\in V}$ geldt:

${\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}$

Bij de symmetrische bilineaire vorm ${\displaystyle B}$ hoort de kwadratische vorm

${\displaystyle Q(x)=B(x,x)}$

Als de karakteristiek van ${\displaystyle K}$ verschilt van 2, is er een een-op-eenrelatie tussen de symmetrische bilineaire vormen en de kwadratische vormen, gegeven door:

${\displaystyle B(v,w)={\tfrac {1}{2}}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w))}$

Als van de vectorruimte een basis ${\displaystyle W}$ is gegeven, wordt de symmetrische bilineaire vorm ${\displaystyle B}$ geheel bepaald door de beelden ${\displaystyle B(w_{i},w_{j})}$ van de combinaties van de basisvectoren. Er geldt immers:

${\displaystyle B(x,y)=B\left(\sum \xi _{i}w_{i},\sum \eta _{j}w_{j}\right)=\sum \xi _{i}\sum \eta _{j}B(w_{i},w_{j})}$

Vanwege de symmetrie moet ook gelden:

${\displaystyle B(w_{i},w_{j})=B(w_{j},w_{i})}$,

zodat ${\displaystyle B}$ bepaald wordt door een symmetrische functie ${\displaystyle S:W\times W\to K}$.

Symmetrische bilineaire spelen een rol in de studie van orthogonale polariteit en van kwadrieken.