Integratie door substitutie

We weten dat ${\displaystyle \int \sin(x)\,\mathrm {d} x=-\cos(x)+C.}$ Stel dat we ${\displaystyle \int \sin({3x-2})\mathrm {d} x}$ willen bepalen, dan gaat deze integraal door de substitutie ${\displaystyle 3x-2=y,}$ dus met ${\displaystyle \mathrm {d} x={\tfrac {1}{3}}\mathrm {d} y,}$ over in

${\displaystyle \int \sin(3x-2)\mathrm {d} x={\tfrac {1}{3}}\int \sin(y)\mathrm {d} y=-{\tfrac {1}{3}}\cos(y)+C=-{\tfrac {1}{3}}\cos(3x-2)+C}$

Nu passen we de formule in de andere richting toe, van rechts naar links dus. We beschouwen de volgende integraal:

${\displaystyle \int \sin ^{3}(t)\mathrm {d} t=\int \sin ^{2}(t)\sin(t)\mathrm {d} t=\int \left(1-\cos ^{2}(t)\right)\sin(t)\mathrm {d} t}$

Door de substitutie ${\displaystyle x=\cos(t)\,}$ wordt ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-\sin(t)}$ en dus ${\displaystyle \mathrm {d} t=-{\frac {1}{\sin(t)}}\mathrm {d} x}$. De integraal wordt dan

${\displaystyle \int (1-\cos ^{2}(t))\sin(t)\mathrm {d} t=-\int (1-x^{2})\mathrm {d} x=-x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+C=-\cos(t)+{\tfrac {1}{3}}\cos ^{3}(t)+C}$,

zodat

${\displaystyle \int \sin ^{3}(t)\mathrm {d} t=-\cos(t)+{\tfrac {1}{3}}\cos ^{3}(t)+C}$

Ten slotte een voorbeeld van een bepaalde integraal. Nu moet eraan gedacht worden ook de grenzen aan te passen.

${\displaystyle \int _{0}^{2}xe^{x^{2}}\mathrm {d} x}$.

Substitutie: stel ${\displaystyle x^{2}=y\Leftrightarrow 2x\mathrm {d} x=\mathrm {d} y\Leftrightarrow x\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} y}$.
Grenzen aanpassen: ${\displaystyle x=0\Rightarrow y=0\ \wedge \ x=2\Rightarrow y=4}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{4}{e^{y}}\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}[{e^{y}}]_{0}^{4}={\tfrac {1}{2}}(e^{4}-e^{0})={\frac {e^{4}-1}{2}}}$

In tegenstelling tot de voorgaande voorbeelden, is het bij een bepaalde integraal niet nodig achteraf terug te substitueren.

Een klassieker is de bepaling van

${\displaystyle I=\int {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

voor ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$.

We gebruiken als substitutie:

${\displaystyle x=\sin(y)}$, dus ${\displaystyle \mathrm {d} x=\cos(y)\,\mathrm {d} y}$,

en vinden:

${\displaystyle I=\int {\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}\cos(y)\,\mathrm {d} y=\int {\sqrt {\cos ^{2}(y)}}\cos(y)\,\mathrm {d} y=\int \cos ^{2}(y)\,\mathrm {d} y}$

We gebruiken nu dat

${\displaystyle \cos(2y)=2\cos ^{2}(y)-1\Leftrightarrow \cos ^{2}(y)={\tfrac {1}{2}}(1+\cos(2y))}$,

zodat:

${\displaystyle I=\int {\tfrac {1}{2}}(1+cos(2y))\,\mathrm {d} y={\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} y+{\tfrac {1}{4}}\int \cos(2y)\,\mathrm {d} (2y)={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{4}}\sin(2y)+C}$

Om ${\displaystyle I}$ als functie van ${\displaystyle x}$ te vinden, gebruiken we dat

${\displaystyle \sin(y)=x\Leftrightarrow y=\arcsin(x)}$,

en substitueren terug:

${\displaystyle I={\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{4}}\cdot 2\sin(y)\cos(y)+C={\tfrac {1}{2}}\arcsin(x)+{\tfrac {1}{2}}x{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

De Weierstrass-substitutie, genoemd naar de Duitse wiskundige Karl Weierstrass, is een methode, die wordt gebruikt om met behulp van substitutie een integraal te berekenen.