Harmonische ligging

Van vier verschillende punten $A,B,S$ en $T$ die op op één lijn liggen, zegt men dat de paren $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch ten opzichte van elkaar liggen, als

{\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}

Daarin staat $|AB|$ voor de lengte van het lijnstuk $AB$ .

De punten $S$ en $T$ worden wel harmonische verwanten ten opzichte van $(A,B)$ genoemd.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)$ gelijk is aan −1.

Constructie

Constructie met behulp van een cirkel

Gegeven drie punten $A,B$ en $S$ die op één lijn liggen. Men kan het punt $T$ zo construeren dat $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen.

Neem een punt $C$ niet op de lijn door $A,B$ en $S$ , en op het lijnstuk $SC$ een punt $M$ . Laat $E$ het snijpunt zijn van $AC$ en $BM$ , en $F$ het snijpunt van $BC$ en $AM$ . Het snijpunt van $AB$ en $EF$ is het gevraagde punt $T$ .

Driehoek $SEF$ is de Ceva-driehoek van driehoek $ABC$ ten opzichte van $M$ .

Uitleg

De constructie volgt uit de stellingen van Ceva en van Menelaos. Zij geven dat

{\frac {|AS|}{|SB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1

en

{\frac {|AT|}{|BT|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1.

Dus is ${\frac {|AS|}{|BS|}}={\frac {|AT|}{|BT|}}$ .

In nevenstaande figuur staat een alternatieve constructie met behulp van de cirkel met AB als middellijn.

Relatie met het harmonisch gemiddelde

Omdat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)=-1$ , volgt dat

|AS|\cdot |BT|-|AT|\cdot |BS|=0

zodat

|AS|\cdot (|AB|-|AT|)+|AT|\cdot (|AB|-|AS|)=0

of:

|AS|\cdot |AB|+|AT|\cdot |AB|=2|AT|\cdot |AS|

Dus is

{\frac {1}{|AS|}}+{\frac {1}{|AT|}}={\frac {2}{|AB|}}

,

wat inhoudt dat $|AB|$ het harmonisch gemiddelde is van $|AS|$ en $|AT|$ .

Midden van het eerste lijnstuk

Als $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen en $M$ het midden is van $AB$ , dan geldt

|MB|^{2}=|MS|\cdot |MT|

,

|MS|\cdot |ST|=|AS|\cdot |SB|

.

Harmonische ligging van lijnen

Daar het begrip dubbelverhouding gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch als zijn dubbelverhouding $(abcd)$ gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch.
De lijnen $c$ en $d$ liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .
Lijn $d$ is harmonisch toegevoegd aan lijn $c$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .

Voorbeelden

De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
De poollijn van een punt $P$ , ten opzichte van de rechten $a$ en $b$ met snijpunt $S$ , is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn $SP$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$ .

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.