Stelling van Ceva

De stelling van Ceva is een stelling uit de meetkunde die zegt dat bij een driehoek ABC, met ingeschreven driehoek DEF, de uitspraak dat de lijnen AD, BE en CF alle drie door één punt gaan en de uitspraak dat

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1

De stelling van Ceva

De stelling van Ceva voor een buiten driehoek ABC gelegen punt O

equivalent (logisch hetzelfde) zijn.

Hierbij moeten de drie verhoudingen worden opgevat als verhoudingen van evenwijdige vectoren. Zo is ${\frac {AF}{FB}}$ de verhouding van ${\vec {AF}}$ en ${\vec {FB}}$ . Dit betekent met name dat de verhouding negatief is als de twee vectoren (de lijnstukken) tegengesteld gericht zijn, wat van belang is om de stelling ook geldig te laten zijn als O buiten driehoek ABC ligt.

Vanwege de stelling van Ceva worden de hoektransversalen AO, BO en CO ook de cevianen van O of de Ceva-lijnen van O genoemd.

De stelling werd bewezen door Giovanni Ceva in zijn boek De lineis rectis uit 1678. De stelling is echter eerder bewezen door Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, een 11e eeuws wiskundige die leefde in Zaragoza.[1]

Goniometrische vorm

Een equivalente goniometrische vorm van de stelling van Ceva wordt de goniometrische vorm van de stelling genoemd. Deze zegt dat AD,BE,CF door één punt O gaan dan en slechts dan als

{\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1.

Zie ook

Externe link

Stelling van Ceva

Referentie

Holme, Audun, Geometry - Our Cultural Heritage. Springer (2010, 2e druk), p. 210. ISBN 3-642-14440-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Holme, Audun, Geometry - Our Cultural Heritage. Springer (2010, 2e druk), p. 210. ISBN 3-642-14440-3.