Geodetische afbeelding

Een afbeelding ${\displaystyle \varphi :M\to N}$, tussen twee (pseudo-)Riemann-variëteiten ${\displaystyle (M,g)}$ en ${\displaystyle (N,h)}$ wordt een geodetische afbeelding genoemd, als

• ${\displaystyle \varphi }$ een diffeomorfisme is van ${\displaystyle M}$ op ${\displaystyle N}$, en
• het beeld onder ${\displaystyle \varphi }$ van een geodetische boog in ${\displaystyle M}$ een en geodetische boog in ${\displaystyle N}$ is, en
• ook omgekeerd het beeld onder de inverse ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ van een geodetische boog in ${\displaystyle N}$ een geodetische boog in ${\displaystyle M}$ is,

Laat ${\displaystyle (M,g)}$ en ${\displaystyle (N,h)}$ beide de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zijn met de gewone riemann-metriek. Dan is iedere eclidische isometrie een geodetische afbeelding van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ op zichzelf.

Analoog is voor ${\displaystyle (M,g)}$ en ${\displaystyle (N,h)}$ beide de ${\displaystyle n}$-dimensionale eenheidssfeer ${\displaystyle S_{n}}$ met de gebruikelijke bolmetriek, iedere isometrie van de sfeer een geodetische afbeelding van ${\displaystyle S_{n}}$ op zichzelf.

De gnomonische projectie van de hemisfeer op het vlak is een geodetische afbeelding, omdat grootcirkels op lijnen worden afgebeeld en omgekeerd lijnen op grootcirkels.

Zij ${\displaystyle (D,g)}$ de eenheidsschijf in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ uitgerust met de euclidische metriek, en ${\displaystyle (D,h)}$ de eenheidsschijf uitgerust met de hyperbolische metriek van het Poincaré-model in de hyperbolische meetkunde. Hoewel de twee structuren diffeomorf zijn door middel van de identiteit ${\displaystyle i_{D}}$, is ${\displaystyle i_{D}}$ geen geodetische afbeelding, omdat geodeten in de zin ${\displaystyle h}$ rechte lijnen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ zijn, terwijl geodeten in de zin ${\displaystyle g}$ gebogen kunnen zijn.

Wordt daarentegen de hyperbolische metriek op ${\displaystyle D}$ gegeven door het Beltrami-Klein-model, dan is de identiteit ${\displaystyle i_{D}}$ wel een geodetische afbeelding, aangezien hyperbolische geodeten in het Beltrami-Klein-model euclidische rechte lijnsegmenten zijn.

• Ambartzumian, R. V., Combinatorial integral geometry. John Wiley & Sons Inc., New York (1982), p. xvii+221. ISBN 0-471-27977-3.
• Kreyszig, Erwin, Differential geometry. Dover Publications Inc., New York (1991), p. xiv+352. ISBN 0-486-66721-9.

• MathWorld: Geodesic mapping