Eerste-ordesysteem

Een eerste-ordesysteem is een dynamisch systeem dat gemodelleerd kan worden als een integrator met een negatieve terugkoppeling.

Veel dynamische systemen zijn bij benadering eerste-ordesystemen, bijvoorbeeld een leeglopend bad of een bord eten dat staat af te koelen.

De 'integrator' is een reservoir dat tastbare materie kan bevatten (zoals bij het bad), maar bijvoorbeeld ook warmte (zoals bij het dampende bord) of elektrische lading (zoals op een condensator). Het zuiverste voorbeeld van een lineair eerste-ordeproces is radioactief verval.

In een eerste-ordesysteem verliest het reservoir inhoud met een snelheid die evenredig is met de inhoud van het reservoir: het bad loopt sneller leeg naarmate het voller is en de warme maaltijd koelt het snelst af als het net op tafel gezet is.

Differentiaalvergelijking

De algemene differentiaalvergelijking van een eerste-ordesysteem met invoer (excitatie) $x(t)$ en uitvoer (respons) $y(t)$ is:

\tau \,{\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}+y(t)=a\,x(t)+b\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}

In het linkerlid staat de informatie over het systeem zelf: de eerste term beschrijft de tijdsafhankelijkheid, waarbij $\tau$ de tijd als fysische eenheid heeft. De tweede term beschrijft de negatieve terugkoppeling. In het rechterlid staat de informatie over de excitatie: het systeem kan afhangen van de excitatie $x(t)$ , maar ook van afgeleiden van de excitatie. Indien $b=0$ heeft het systeem een laagdoorlaatgedrag. Indien de excitatie $x(t)$ een hoogfrequente sinus is, zal het systeem deze in hoge mate onderdrukken. Omgekeerd, indien $a=0$ krijgt het systeem een hoogdoorlaatgedrag en wordt een constante excitatie en een laagfrequente sinus onderdrukt.

De algemene oplossing van de homogene vergelijking is:

y=Ke^{-t/\tau }

met $K$ een integratieconstante. Verder is $\tau$ de tijdconstante van het systeem. Deze geeft aan hoe snel de dalende exponentiële functie afneemt. Na drie tijdconstanten is de exponentiële functie reeds voor 95% uitgewerkt, na vijf tijdconstanten voor meer dan 99%. De halveringstijd is gelijk aan ln(2) (ongeveer 0,693) maal deze exponentiële tijdconstante. Dit homogene deel van de oplossing heet het overgangsgedrag (transiënt gedrag). Het is tijdelijk actief bij het opstarten van een excitatie, of bij het wijzigen van het type excitatie.

Systeemkenmerken

De systeemfunctie (overdrachtsfunctie, transferfunctie) ontstaat door in de differentiaalvergelijking als excitatie $x(t)$ een Dirac-functie te kiezen en op de vergelijking dan de Laplacetransformatie toe te passen.

Eerste-ordelaagdoorlaatsysteem

De systeemfunctie is:

H(s)\ ={\frac {a}{\tau s+1}}

De frequentierespons:

H(j\omega )={\frac {a}{\tau j\omega +1}}

Met als amplituderespons:

A(\omega )={\frac {a}{\sqrt {1+\tau ^{2}\omega ^{2}}}}

De polen en nullen van een systeem zijn respectievelijk de nulpunten van de noemer en de teller van zijn systeemfunctie. Voor een eerste-ordelaagdoorlaatsysteem wordt dit: de enige pool ligt in $s=-1/\tau$ en de enige nul ligt op oneindig.

De impulsrespons (impulsresponsie) is:

h(t)={\frac {a}{\tau }}\ e^{-t/\tau }

De staprespons(stapresponsie) is:

w(t)=a\,(1-e^{-t/\tau })

Eerste-ordehoogdoorlaatsysteem

De systeemfunctie is:

H(s)={\frac {b\,s}{\tau s+1}}

De frequentierespons is:

H(j\omega )={\frac {b\,j\omega }{\tau j\omega +1}}

Met als amplituderespons:

A(\omega )={\frac {b\omega }{\sqrt {1+\tau ^{2}\omega ^{2}}}}

De polen en nullen zijn: de enige pool ligt in $-1/\tau$ en de enige nul ligt in de oorsprong $s=0$ .

De impulsrespons (impulsresponsie) is:

h(t)={\frac {b}{\tau ^{2}}}(\tau \delta (t)-e^{-t/\tau })

De staprespons(stapresponsie) is:

w(t)={\frac {b}{\tau }}(1-e^{-t/\tau })

Voorbeelden

Laagdoorlaatsystemen

Eerste-orde passief laagdoorlaatfilter

Eerste-orde laagdoorlaatfilter

Dit filter bevat één weerstand en één condensator. De excitatie is een spanning

v_{\text{in}}(t)

, de respons eveneens een spanning

v_{\text{uit}}(t)

. De benaming "passief" duidt op de afwezigheid van een operationele versterker als actieve component.

De differentiaalvergelijking is:

RC{\frac {\mathrm {d} v_{\text{uit}}(t)}{\mathrm {d} t}}+v_{\text{uit}}(t)=v_{\text{in}}(t)

De transferfunctie is:

H(s)={\frac {1}{RCs+1}}

Het opladen van een condensator over een weerstand. De excitatie is een spanning $v(t)$ , de respons de lading $q(t)$ op de condensator.

De differentiaalvergelijking is:

RC{\frac {\mathrm {d} q(t)}{\mathrm {d} t}}+q(t)=C\ v_{\text{in}}(t)

De transferfunctie is:

H(s)={\frac {C}{RCs+1}}

Het snelheidsverloop van een object

Op een object met massa

m

wordt als excitatie een kracht

f(t)

uitgeoefend. De weerstand van de omgeving wordt verondersteld evenredig te zijn met de snelheid. Dit heet viskeuze demping, met

c

de dempingsconstante. Als respons van het systeem wordt de snelheid

v(t)

van het object gekozen.

De differentiaalvergelijking is:

m{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}+c\,v(t)=f(t)

De transferfunctie is:

H(s)={\frac {1}{ms+c}}

Hoogdoorlaatsysteem

Eerste-orde passief hoogdoorlaatfilter.

Eerste-orde hoogdoorlaatfilter

Dit filter bevat één weerstand en één condensator. De excitatie is een spanning

v_{\text{in}}(t)

, de respons eveneens een spanning

v_{\text{uit}}(t)

.

De differentiaalvergelijking is:

RC{\frac {\mathrm {d} v_{\text{uit}}(t)}{\mathrm {d} t}}+v_{\text{uit}}(t)=RC{\frac {\mathrm {d} v_{\text{in}}(t)}{\mathrm {d} t}}

De transferfunctie is:

H(s)={\frac {RCs}{RCs+1}}

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.