Eenheidsinterval

In de wiskunde is het eenheidsinterval het interval [0,1], d.w.z. de verzameling van alle reële getallen die groter dan of gelijk zijn aan nul en kleiner dan of gelijk zijn aan een.

Het eenheidsinterval speelt een fundamentele rol in de homotopietheorie, een belangrijke tak binnen de topologie. Het eenheidsinterval is een metrische, compacte, samendrukbaar, samenhangend en lokaal samenhangende ruimte. Als topologische ruimte is het eenheidsinterval homeomorf met de uitgebreide reële getallenlijn. Het eenheidsinterval is een een-dimensionale analytische variëteit die begrend wordt door (0,1), met een standaard gerichtheid van 0 tot 1. Als een deelverzameling van de reële getallen is de lebesguemaat van het eenheidsinterval gelijk aan 1. Het is een totaal geordende verzameling en een compleet rooster (elke deelverzameling van het eenheidsinterval heeft een ondergrens en een bovengrens).

In de literatuur wordt de term "eenheidsinterval" soms ook toegepast op de andere vormen die een interval van 0 tot 1 aan kan nemen, zoals (0,1], [0,1) en (0,1). De term wordt echter meestal gereserveerd voor het gesloten interval [0,1].

Soms wordt de term "eenheidsinterval" gebruikt om naar objecten te verwijzen die een rol spelen in verschillende takken van de wiskunde, vergelijkbaar met de rol die [0,1] speelt in de homotopietheorie. Bijvoorbeeld in de theorie van de bibbers, is het analogon van het eenheidsinterval de grafiek waarvan de vertexverzameling (0,1) is, die een enkele ribbe e bevat, waarvan de bron 0 en is waarvan het doel 1 is. Men kan dan een notie van homotopie tussen bibber homomorfismen definiëren, vergelijkbaar met de notie van een homotopie tussen continue afbeeldingen.