Gelijkvormige matrices

In de lineaire algebra zegt men van de vierkante matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ over hetzelfde lichaam ${\displaystyle K}$ dat ${\displaystyle B}$ gelijkvormig of congruent is met ${\displaystyle A}$ als er een inverteerbare matrix ${\displaystyle P}$ over ${\displaystyle K}$ bestaat zodanig dat

${\displaystyle B=P^{T}\!\!AP}$ ,

waarin T de getransponeerde aanduidt.

Gelijkvormigheid is een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is gelijkvormig aan zichzelf; kies voor ${\displaystyle P}$ de eenheidsmatrix.
• (Symmetrie) Als ${\displaystyle B}$ gelijkvormig aan ${\displaystyle A}$ , is ook ${\displaystyle A}$ gelijkvormig aan ${\displaystyle B}$ , want ${\displaystyle P}$ is inverteerbaar, dus

${\displaystyle A=(P^{-1})^{T}\!BP^{-1}}$

• (Transiviteit) Als ${\displaystyle A}$ gelijkvormig is aan ${\displaystyle B}$ en ${\displaystyle B}$ gelijkvormig aan ${\displaystyle C}$ , geldt

${\displaystyle A=P^{T}\!BP}$

en

${\displaystyle B=Q^{T}\!CQ}$ ,

zodat

${\displaystyle A=(QP)^{T}\!C(QP)}$ ,

en, omdat met ${\displaystyle P}$ en ${\displaystyle Q}$ ook ${\displaystyle QP}$ inverteerbaar is, is ${\displaystyle A}$ dus gelijkvormig aan ${\displaystyle C}$ .