Cayley-graaf

Gegeven zijn een groep ${\displaystyle G}$ en een systeem ${\displaystyle S\subset G}$ van voortbrengers van ${\displaystyle G}$. De Cayley-graaf ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)}$ van het paar ${\displaystyle (G,S)}$ is een gekleurde en gerichte graaf die als volgt is opgebouwd:

• Aan elk element ${\displaystyle g\in G}$ wordt een knoop toegewezen. De verzameling knopen ${\displaystyle V(\Gamma )}$ van ${\displaystyle \Gamma }$ wordt met ${\displaystyle G}$ geïdentificeerd.
• Aan elke voortbrenger ${\displaystyle s\in S}$ wordt een kleur ${\displaystyle c_{s}}$ toegekend.
• Voor elke ${\displaystyle g\in G}$ en ${\displaystyle s\in S}$ worden de knopen die bij de elementen ${\displaystyle g}$ en ${\displaystyle gs}$ behoren, verbonden door een gerichte kant met de kleur ${\displaystyle c_{s}}$ van de voortbrenger. De verzameling kanten ${\displaystyle E(\Gamma )}$ bestaat dus uit de paren van de vorm ${\displaystyle (g,gs)}$, waarin de voortbrenger ${\displaystyle s}$ de kleur van de kant bepaalt.

In de meetkundige groepentheorie wordt gewoonlijk verondersteld dat de verzameling voortbrengers ${\displaystyle S}$ eindig is, 'symmetrisch' is, wat inhoudt dat ${\displaystyle S=S^{-1}}$, en niet het neutrale element van de groep bevat. In dat geval is de Cayley-graaf, op de kleuren na, een gewone graaf: de kanten zijn niet georiënteerd, en de graaf bevat geen cykels.

Een Cayley-graaf van de dihedrale groep ${\displaystyle D_{4}}$

Een andere Cayley-graaf van ${\displaystyle D_{4}}$

• Van de oneindige cyclische groep ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ met de standaard voortbrenger 1 en zijn inverse −1 (in additieve notatie) is de bijbehorende Cayley-graaf een oneindige keten.

• Het geval met ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, de eindige cyclische groep van orde ${\displaystyle n}$, is vergelijkbaar met het vorige. Ook nu zijn de standaard voortbrengers 1 en zijn inverse −1 en heeft ${\displaystyle S}$ twee elementen. De Cayley-graaf is dan de cyclische graaf ${\displaystyle C_{n}}$.

• De Cayley-graaf van het directe product van een aantal groepen is het cartesisch product van de respectievelijke Cayley-grafen. De Cayley-graaf van de vrije abelse groep ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ met de 4 voortbrengers ${\displaystyle (\pm 1,\ \pm 1)}$ is een oneindig rooster in het vlak ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, terwijl de Cayley-graaf voor de directe producten ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ is een eindig ${\displaystyle n\times m}$-rooster op de torus.

• De bovenste figuur toont de Cayley-graaf van de dihedrale groep ${\displaystyle D_{4}}$ met twee voortbrengers ${\displaystyle a}$ (draaiing over 90° met de klok mee) en ${\displaystyle b}$ (horizontale spiegeling). Aangezien ${\displaystyle b}$ zijn eigen inverse is, zijn de blauwe kanten, die staan voor het uitvoeren van ${\displaystyle b}$, ongericht getekend. Deze keuze van ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ komt overeen met de presentatie

${\displaystyle \langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,ab=ba^{3}\rangle }$.

Het verband tussen de groep en de keuze van de voortbrengers ziet men terug in de Cayley-graaf als cykels. Zo levert bijvoorbeeld ${\displaystyle a^{4}}$ een gesloten pad in de graaf.

• Van de vrije groep met twee voortbrengers ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ staat de Cayley-graaf met de verzameling voortbrengers ${\displaystyle S=\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$ eerder in het artikel, waarbij ${\displaystyle e}$ staat voor hetneutrale element. Op een kant naar rechts gaan komt overeen met rechtsvermenigvuldiging met ${\displaystyle a}$, terwijl omhoog gaan vermenigvuldiging met ${\displaystyle b}$ voorstelt. Omdat de vrije groep geen relaties heeft, zijn er geen cycli in de graaf.