Presentatie (groepentheorie)

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een presentatie van een groep een manier om de groep voor te stellen met behulp van een aantal voortbrengende elementen van de groep en een aantal relaties die tussen deze voortbrengers bestaan. De voortbrengende elementen vormen een genererende verzameling, zodat elk element van de groep voorgesteld kan worden als het product van enige van deze voortbrengers en hun inversen. Bovendien is de manier van voorstellen uniek op een of meer van de gegeven relaties na.

Een presentatie van een groep $G$ wordt genoteerd als

\langle S\mid R\rangle

,

waarin $S$ de verzameling voortbrengers is en $R$ de verzameling relaties.

Informeel gesproken heeft $G$ de bovenstaande presentatie als het de "vrijste groep" is, die door $S$ wordt gegenereerd alleen onderworpen aan de relaties $R$ . Formeel zegt men dat de groep $G$ de bovenstaande presentatie heeft als de groep isomorf is met het quotiënt van een vrije groep op $S$ en de normale deelgroep die door de relaties $R$ wordt gegenereerd.

Notatie

Als $S=\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{m}\}$ en $R=\{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}$ eindige verzamelingen zijn, noteert men de presentatie $\langle S\mid R\rangle$ eenvoudigweg als

\langle s_{1},s_{2},\ldots ,s_{m}\mid r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\rangle

Met $F$ de vrije groep over $S$ schrijft men een relatie $r\in F$ vaak in de vorm $r=e$ om te benadrukken dat dit in de factorgroep $F/K$ afgebeeld wordt op het neutrale element $e$ . Iets algemener gebruikt men de eenvoudigere vorm $u=v$ in plaats van de relatie $uv^{-1}=e$ .

Voorbeelden

Een eenvoudig voorbeeld is een presentatie voor de groep $C=(\mathbb {Z} ,+)$ van de gehele getallen met de opteling. Deze groep kan worden voortgebracht door bijvoorbeld het enkele element $1$ . In dit geval zijn er geen relaties en dit is wordt geschreven als

C=\langle 1\mid -\rangle

Elk element $k\in C$ wordt eenduidig geschreven als $1+1+\ldots +1$ of als $(-1)+(-1)+\ldots +(-1)$ . Bij het ontbreken van relaties spreekt men van de vrije groep over de gegeven voortbrenger.

Voegt men voor $n>1$ de relatie $n\cdot s=0$ toe, dan ontstaat een presentatie van de groep

C_{n}=\langle s\mid n\cdot s=0\rangle

Ook hier kan elk element $k\in C_{n}$ geschreven worden als $1+1+\ldots +1$ of als $(-1)+(-1)+\ldots +(-1)$ , maar vanwege de gegeven relatie $n\cdot s=0$ geldt voor alle $k$ :

k\cdot s=(k+n)\cdot s

De groep $C_{n}$ bestaat uit precies $n$ elementen: $C_{n}=\{0,1,2,\ldots ,n-1\}$ , de cyclische groep van de orde $n$ , isomorf met $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . Deze heeft de presenatie:

\langle a\mid a^{n}=e\rangle

waarin $e$ de groepsidentiteit is.

Elke groep heeft een presentatie, en in feite zelfs vele verschillende presentaties; een presentatie is een compacte manier om de structuur van de groep te beschrijven.

Een nauw verwant, maar verschillend concept is dat van een absolute presentatie van een groep.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.