Brahmaguptamatrix

In de wiskunde is een Brahmaguptamatrix een matrix, opgesteld in 628 door de Indiase wiskundige Brahmagupta, met een van de volgende structuren:

${\displaystyle B_{+}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}{\mbox{ of }}B_{-}(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\-ty&-x\end{bmatrix}}}$.

Dit kan worden samengevat als:

${\displaystyle B(x,y,s)={\begin{bmatrix}x&y\\sty&sx\end{bmatrix}}}$,

waarin

${\displaystyle s=\pm 1}$.

Dan is:

${\displaystyle B_{+}(x,y)=B(x,y,1)}$ en ${\displaystyle B_{-}(x,y)=B(x,y,-1)}$

Het product van twee Brahmaguptamatrices is weer een Brahmaguptamatrix, want:

${\displaystyle B(x_{1},y_{1},s_{1})B(x_{2},y_{2},s_{2})={\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}\\s_{1}ty_{1}&s_{1}x_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}&y_{2}\\s_{2}ty_{2}&s_{2}x_{2}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}ty_{1}x_{2}+s_{1}s_{2}tx_{1}y_{2}&s_{1}ty_{1}y_{2}+s_{1}s_{2}x_{1}x_{2}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2}&x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2}\\s_{1}s_{2}t(x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2})&s_{1}s_{2}(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2})\end{bmatrix}}=B(x_{1}x_{2}+s_{2}ty_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+s_{2}y_{1}x_{2},s_{1}s_{2}).}$

De n-de macht van een Brahmaguptamatrix wordt geschreven als:

${\displaystyle B_{n}=B^{n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Daarin zijn ${\displaystyle \ x_{n}}$ en ${\displaystyle \ y_{n}}$ polynomen in t die Brahmaguptapolynomen worden genoemd. Deze zijn ook voor negatieve gehele getallen gedefinieerd door:

${\displaystyle B_{-n}=B^{-n}={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}^{-n}={\begin{bmatrix}x_{-n}&y_{-n}\\ty_{-n}&x_{-n}\end{bmatrix}}.}$