Afgeknotte piramide

De inhoud van een afgeknotte piramide werd al in het Oude Egypte bepaald. In de Moskou-papyrus staat het volgende: "Als u wordt verteld: een afgeknotte piramide met een verticale hoogte van 6, een basis van 4 en de basis op de top van 2, dan moet U 4 in het kwadraat nemen, dat is 16. Vermenigvuldig dan 2 en 4, dat is 8. Dan neemt U het kwadraat van 2, dat geeft 4. Vervolgens moet u de 16, de 8 en de 4 bij elkaar optellen, dat resulteert in 28. Van de verticale basis (6) moet U één derde nemen, dat geeft 2. Als laatste stap neemt u 28 keer 2, dat geeft 56. Ziehier het resultaat."

En inderdaad: dit klopt. Er wordt uitgegaan van een vierkant grondvlak met zijde ${\displaystyle b_{1}}$, een bovenvlak met zijde ${\displaystyle b_{2}}$ en een hoogte ${\displaystyle h}$. De gebruikte formule is:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h(b_{1}^{2}+b_{1}b_{2}+b_{2}^{2})}$

Het volume ${\displaystyle V}$ van de afgeknotte piramide is het verschil in volume van de oorspronkelijke piramide en het afgesneden gedeelte:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h_{1}B_{1}-{\tfrac {1}{3}}h_{2}B_{2}.}$

Daarin zijn ${\displaystyle B_{1}}$ en ${\displaystyle B_{2}}$ de oppervlakten van respectievelijk het onder- (grotere) en het bovenvlak (kleinere), en ${\displaystyle h_{1}}$ en ${\displaystyle h_{2}}$ de loodrechte hoogtes van de top van de oorspronkelijke piramide tot deze vlakken.

Een alternatieve formule verkrijgt men door ${\displaystyle h}$ de hoogte van de afgeknotte piramide te noemen, dat is de loodrechte afstand tussen het bovenvlak en het grondvlak. Dan is ${\displaystyle h=h_{1}-h_{2}}$ en er geldt:

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}}$,

zodat:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}h(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})}$