Zweving

Voorbeeld van het zweven van twee signalen.
Boven: de signalen met frequenties f₁ (blauw) en f₂ (magenta).
Onder: De zweving, ontstaan door het optellen (superponeren) van de boven weergegeven signalen. De blauwe lijn toont het gemiddelde van de beide frequenties en de omhullende in magenta de halve verschilfrequentie van de beide signalen.

Zij

• y_1,2 = de sinusvormige trillingen 1 en 2;
• f_1,2 = de frequentie van de sinusvormige trillingen 1 en 2;
• A_1,2 = de amplitude van de afzonderlijke trillingen (gelijk voor 1 en 2);
• t = de tijd;
• π = het getal pi (= 3,141592654...);
• y_R = het resulterende samengestelde signaal;
• A_R = de amplitude hiervan;
• f_R = de frequentie hiervan;
• f_S = de frequentie van de omhullende van het samengestelde signaal;
• f_zweving = de zwevingsfrequentie.

We beschouwen twee in dezelfde richting trillende harmonische trillingen met een klein frequentieverschil:

${\displaystyle y_{1}(t)=A_{1}\sin(2\pi f_{1}t)}$

en

${\displaystyle y_{2}(t)=A_{2}\sin(2\pi f_{2}t)}$

Ter vereenvoudiging nemen we aan dat beide trillingen dezelfde amplitude hebben:

${\displaystyle A_{1}=A_{2}=A}$

De samengestelde trilling wordt dan:

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }=A\left(\sin \left(2\pi f_{1}t\right)+\sin \left(2\pi f_{2}t\right)\right)}$.

Met de formules van Simpson kan dit worden herleid tot:

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }=2A\sin \!\left(2\pi {\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}t\right)\cdot \cos \!\left(2\pi {\frac {f_{1}-f_{2}}{2}}t\right)}$

Dit betekent dat de frequentie van het resulterende zwevingssignaal het gemiddelde is van de frequenties van de samenstellende signalen (het sinuslid in de vergelijking, zie f_R hierna), en dat de resulterende amplitude in de tijd varieert (de cosinusfactor in de formule, zie f_S en f_zweving hierna).

Nu geldt:

${\displaystyle f_{\mathrm {R} }={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}}$

Men vindt dus f_S = f₁ – f₂ ; dit is de frequentie van de cosinusfactor. Daar het voor de omhullende – dat wil zeggen voor hoorbare amplitudeschommelingen – niet uitmaakt of de cosinusfactor positief of negatief is, is de hoorbare frequentie van de amplitudeschommelingen tweemaal zo hoog. Deze zogenaamde zwevingsfrequentie is gedefinieerd als:

${\displaystyle f_{\mathrm {zweving} }=\left|f_{1}-f_{2}\right|}$

en zijn waarde is aanzienlijk kleiner dan f_R . De daaruit volgende zwevingsperiode T_zweving = 1 / f_zweving is het tijdsverschil tussen twee punten met de kleinste amplitude (knopen) van de zwevingsfunctie y_R .

Als de amplitudes van de beide trillingen niet gelijk zijn, spreekt men van een zogenaamde onzuivere zweving. Daarbij ziet de cosinusfactor er iets anders uit, en er treden geen stilteperiodes op (wanneer de resulterende amplitude van de zuivere zweving door nul gaat). Verder schommelt de zwevingsduur, dat wil zeggen dat de zwevingsfrequentie (de sinusfactor in bovenstaande afleiding) niet constant is.

Zwevingen bij superpositie van twee tonen van 440 Hz en 440,5 Hz:

Met zuivere sinustrillingen	Met 100% grondtoon, 50% eerste boventoon en 25% tweede boventoon
beluisteren (info / uitleg)	beluisteren (info / uitleg)

Twee chromatische halve tonen (frequentieverschil 4%) samenklinkend:

Zuivere sinustonen: het zweven is duidelijk te horen. Nauwelijks aparte tonen hoorbaar  beluisteren (info / uitleg)

Als orgelregister met boventonen (grondtoon: 100%, boventonen: 75%, 50%, 30%, 15%, 10% en 5%). Hier hoort men bij het samenklinken duidelijk twee gescheiden tonen (men kan ze nazingen).  beluisteren (info / uitleg)

Bij onzuiver geïntoneerde intervallen kan men de zwevingen van de boventonen als volgt berekenen:

octaven	${\displaystyle f_{\mathrm {zweving} }=\left|2\cdot f_{1}-f_{2}\right|}$
kwinten:	${\displaystyle f_{\mathrm {zweving} }=\left|3\cdot f_{1}-2\cdot f_{2}\right|}$
grote terts:	${\displaystyle f_{\mathrm {zweving} }=\left|5\cdot f_{1}-4\cdot f_{2}\right|}$

Bij de gewoonlijk buiten het kritieke gebied liggende intervallen hoort men een zweving wanneer twee duidelijk aanwezige boventonen of een boventoon en grondtoon dicht bij elkaar liggen.

Zoals men in de volgende golfbeelden kan zien, is bij zuivere sinustonen nauwelijks zweving waar te nemen (de amplituden veranderen nauwelijks), bij een groot aandeel aan boventonen is echter duidelijk zweving te horen.

Op de middentoon gestemde kwinten

Beluisteren: eerst zuivere sinustrillingen, daarna met boventonen (info / uitleg)

Zwevingen bij intervallen spelen de reine, de middentoon-, de welgetempereerde en de gelijkzwevende stemming een grote rol. Zo hoort men bijvoorbeeld bij een zuivere terts geen zweving, bij een gelijkzwevende een aanzienlijke – als wrijvend ervaren – zweving. De zwevingen van de middentoonstemming zijn zo zwak dat zij niet als wanklank worden ervaren.

De auditieve waarneming van zwevingen berust in het algemeen niet op een akoestisch bedrog, maar op reële fysische processen. Dat geldt niet voor de zogenaamde binaural beats, waarbij door middel van een koptelefoon aan elk oor één van twee verschillende frequenties worden aangeboden en de waarneming van zwevingen pas bij de signaalverwerking in de hersenen ontstaat.

In een eenvoudige AM-radio-ontvanger wordt een sinusvormig signaal gegeneerd dat wordt ingesteld op de draaggolffrequentie van de zender waarop men wil afstemmen.[1] Hierop wordt het ontvangen antennesignaal gesuperponeerd, waardoor een zweving tussen beide signalen ontstaat. Dit verschilsignaal is precies het gewenste audiosignaal, dat naar de audioversterker kan worden gevoerd.

Het moiré-effect kan beschouwd worden als een soort ruimtelijke variant op de zweving. Bij zwevingen gaat het normaliter om signalen die als functie van de tijd variëren. Bij het moiré-effect variëren de signalen als functie van de plaats. Diverse meetmethodes maken hier gebruik van. Een bekend voorbeeld is de nonius.

Musici gebruiken zwevingen vaak om muziekinstrumenten – zoals snaarinstrumenten, maar ook andere – op het gehoor te stemmen. Instrumenten kunnen hiermee ten opzichte van elkaar, of ten opzichte van een stemvork of een toongenerator worden gestemd.

In de muziekuitvoering kunnen zwevingen worden gebruikt om een verlevendigend klankeffect te produceren, zoals het zogenaamd tremolo- of choruseffect, of als speciaal orgelregister in pijporgels. De Lesliespeaker gebruikt het dopplereffect om een zweving te genereren. Hierbij wordt op de constante uitgangstoon een in toonhoogte vibrerende toon gesuperponeerd.

Daarentegen wordt een zweving onaangenaam storend als twee instrumenten met bijna sinusvormige tonen (zoals fluiten) dicht bijeen liggende tonen spelen – men zegt dan dat die tonen „schuren.” Bij unisono-samenspelen van twee beginnende blokfluitspelers kan bij extreme onzuiverheden zelfs een uiterste doordringende, diepe verschiltoon hoorbaar worden.