Reine stemming

De reine stemming is gebaseerd op de harmonische boventoonreeks. Bij iedere toon die gespeeld of gezongen wordt klinken namelijk boventonen mee, die een veelvoud zijn van de grondtoon. De eerste boventoon klinkt bijvoorbeeld tweemaal zo hoog als de grondtoon, en kan dus weergegeven worden met de breuk 2/1. De eerste boventonen van de grondtoon hebben de volgende toonafstanden:

• Eerste boventoon (2/1): octaaf
• Tweede boventoon (3/1): octaaf + kwint
• Derde boventoon (4/1): 2 octaven
• Vierde boventoon (5/1): 2 octaven + grote terts
• Vijfde boventoon (6/1): 2 octaven + kwint

Deze tonen kunnen op een snaarinstrument gespeeld worden door een snaar 2 keer zo kort te maken, of 3 keer zo kort etcetera.

Gebaseerd op deze boventonen kunnen de toonafstanden van de reine stemming vastgesteld worden. Een kwint komt bijvoorbeeld overeen met het verschil tussen de eerste boventoon (2/1) en de tweede boventoon (3/1) en krijgt daarom de breuk 3/2. Een reine kwart komt overeen met het verschil tussen de tweede boventoon (3/1) en de derde boventoon (4/1), en krijgt daarom de breuk 4/3. Een overzicht:

1/1	reine prime
2/1	rein octaaf
3/2	reine kwint
4/3	reine kwart
5/4	grote terts
8/5	kleine sext
5/3	grote sext
6/5	kleine terts
9/8	grote secunde (grote grote secunde)
10/9	grote secunde (kleine grote secunde)
16/15	kleine secunde

Een octaaf geldt als volmaakt consonant. Na het octaaf worden de reine kwint (3/2) en de reine kwart (4/3) als consonant ervaren. De beide tertsen en sexten worden als onvolkomen consonant beschouwd.

Opmerkelijk is dat de grote secunde op twee manieren gestemd kan worden. Ten eerste als het verschil tussen een kwint en een kwart: (3/2)/(4/3) = 9/8, ten tweede als het verschil tussen een kwart en een kleine terts: (4/3)/ (6/5) = 10/9. Er is dus een klein verschil in toonhoogte: (9/8)/(10/9) = 81/80. Dit verschil in toonhoogte wordt het didymische komma genoemd.

Reine majeurladder
De reine majeur-toonladder is de 7-tonige groteterts-ladder (do-ladder, ionische ladder) met als frequentie-verhoudingen:

naam	do		re		mi		fa		so		la		ti		(do)
verhouding met grondtoon	1/1		9/8		5/4		4/3		3/2		5/3		15/8		2/1
verhouding onderling		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9		9/8		16/15

Reine mineurladder
Wat de natuurlijke kleineterts-ladder (la-ladder, eolische ladder) betreft, kan de benaming reine mineur-toonladder niet alleen de op de la-positie beginnende reine majeurladder

verhouding met grondtoon	1/1		9/8		6/5		27/20		3/2		8/5		9/5		2/1
verhouding onderling		9/8		16/15		9/8		10/9		16/15		9/8		10/9

aanduiden, maar ook de daaruit door verwisseling van een 'grote' en een 'kleine' hele toonsafstand ontstane ladder

verhouding met grondtoon	1/1		9/8		6/5		4/3		3/2		8/5		9/5		2/1
verhouding onderling		9/8		16/15		10/9		9/8		16/15		9/8		10/9

met een echt reine vierde trap (kwart) 4/3.

Geen reine 12-tonige ladder
Er zijn meerdere voorstellen gedaan om de reine zeventonige ladder met nog vijf  'tussentonen'  aan te vullen tot een twaalftonige ladder; tot één canonieke versie heeft dat echter niet geleid.[2]  

De tabel toont de afstanden tot grondtoon do van de tonen van de reine majeurladder, aangevuld met de tonen die ontstaan door modulatie van die ladder over een of twee (grote) tertsen of kwinten, omhoog en omlaag. Gerangschikt naar toonhoogte binnen één octaaf; de grijstint wisselt bij 50, 150, 250, ... cents.

Reine tonen na een of twee terts- of kwintmodulaties
van de reine majeurladder

	een modulatie	twee     modulaties	afstand tot do
			verhouding	cents
do			1/1	0
	la + terts		25/24	≈ 71
		re + terts + kwint	135/128	≈ 92
	fa − terts		16/15	≈ 112
	la − kwint		10/9	≈ 182
re			9/8	≈ 204
	ti + terts		75/64	≈ 275
		fa − kwint − kwint	32/27	≈ 294
	so − terts		6/5	≈ 316
mi			5/4	≈ 386
		re + kwint + kwint	81/64	≈ 408
		do − terts − terts	32/25	≈ 427
		la + terts + terts	125/96	≈ 457
fa			4/3	≈ 498
		re − terts + kwint	27/20	≈ 520
		la + terts − kwint	25/18	≈ 569
	re + terts ti + kwint		45/32	≈ 590
		fa − terts − kwint	64/45	≈ 610
		re − terts − terts	36/25	≈ 631
		ti + terts + terts	375/256	≈ 661
		la − kwint − kwint	40/27	≈ 680
so			3/2	≈ 702
	mi + terts		25/16	≈ 773
	do − terts		8/5	≈ 814
la			5/3	≈ 884
	re + kwint		27/16	≈ 906
		fa − terts − terts	128/75	≈ 925
		re + terts + terts	225/128	≈ 977
	fa − kwint		16/9	≈ 996
	re − terts		9/5	≈ 1018
ti			15/8	≈ 1088
		so − terts − terts	48/25	≈ 1129
		mi + terts + terts	125/64	≈ 1159
do			2/1	1200

Weer andere reine toonhoogten komen voor bij modulaties over een kleine terts (tweemaal een kwint minus een terts). En nog weer andere bij de verschillende modulatie-mogelijkheden van een reine mineur-toonladder. Allemaal tonen die, in tegenstelling tot de tonen van de evenredige twaalfverdeling van het octaaf, rein genoemd worden. Een muziekschrift kan die enorme verscheidenheid aan theoretisch reine toonhoogtes bij lange na niet weergeven. Dat hoeft ook niet, want de violist en de zanger zijn voor al die finesses toch op hun gehoor en gevoel aangewezen.

• Breukgetal
• Harmonische
• Lijst van intervallen
• Stemming (muziek)
• Stemming van Pythagoras
• Microtonale muziek
• Natuurtonenreeks
• Sext Waarom de grote reine sext in de majeurtoonladder hoort en de kleine sext in de natuurlijke mineurladder.

• Geluidsfragment met verschil in zuiverheid tussen Pythagoreïsche, reine en gelijkzwevende stemming.
• Pianofragment met verschil in toonhoogte tussen gelijkzwevende en reine stemming.
• Waarom heeft onze toonladder 12 tonen?